Interféromètre de Sagnac

2.8.1 Principe

Interféromètre à division d’amplitude à deux ondes et à chemin commun : la séparatrice divise le faisceau en deux ondes qui parcourent le même circuit fermé (ici trois miroirs) dans des sens opposés, puis se recombinent sur la séparatrice. Les deux ondes traversent les mêmes éléments aux mêmes endroits : tant que le dispositif est immobile, leur différence de marche est nulle pour toutes les longueurs d’onde, sans compensatrice, et les vibrations ou les dérives thermiques lentes agissent de la même façon sur les deux ondes. Seuls des effets non réciproques comme la rotation créent un déphasage.

Fig. 23. – Interféromètre de Sagnac : les ondes 1 et 2 parcourent le même circuit en sens opposés (les deux trajets sont dessinés légèrement décalés). La rotation

Ω

du dispositif déphase les deux ondes.

2.8.2 Effet Sagnac

Considérons un circuit circulaire de rayon $𝑅$ qui tourne à la vitesse angulaire $Ω$ dans le référentiel du laboratoire. Pendant le trajet de la lumière, la séparatrice $𝐵$ s’est déplacée en $𝐵^{'}$ : l’onde qui tourne dans le même sens que le dispositif doit parcourir un peu plus d’un tour, l’onde contra-rotative un peu moins.

Fig. 24. – Parcours des deux ondes dans un circuit en rotation : l’onde co-rotative rattrape la séparatrice qui s’éloigne (

𝐵 \to 𝐵^{'}

), l’onde contra-rotative la rencontre plus tôt (déplacement exagéré).

Avec $𝑐 𝑡_{\pm} = 2 𝜋 𝑅 \pm 𝑅 Ω 𝑡_{\pm}$ , on obtient $𝑡_{\pm} = 2 𝜋 𝑅 / (𝑐 \mp 𝑅 Ω)$ et, pour $𝑅 Ω ≪ 𝑐$ ,

Δ 𝑡 = 𝑡_{+} - 𝑡_{-} = \frac{4 𝜋 𝑅^{2} Ω}{𝑐^{2} - 𝑅^{2} Ω^{2}} ≃ \frac{4 𝐴 Ω}{𝑐^{2}},

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où $𝐴 = 𝜋 𝑅^{2}$ est l’aire du circuit. La différence de marche est $𝛿 = 𝑐 Δ 𝑡 = 4 𝐴 Ω / 𝑐$ , d’où le déphasage $Δ 𝜑 = 2 𝜋 𝛿 / 𝜆$ .

2.8.3 Sorties du dispositif

Avec une séparatrice idéale de coefficients $𝑡 = 1 / \sqrt{2}$ et $𝑟 = 𝑗 / \sqrt{2}$ , l’onde 1 est transmise puis réfléchie, ou transmise deux fois, et l’onde 2 réfléchie puis transmise, ou réfléchie deux fois. Vers le détecteur, les amplitudes sont $𝑡^{2}$ et $𝑟^{2} = - 𝑡^{2}$ : elles sont en opposition de phase. Vers la source, elles valent toutes deux $𝑟 𝑡$ et s’ajoutent.

Point de fonctionnement. Au voisinage de $Δ 𝜑 = 0$ , $𝐼_{𝐷} ≃ 𝐼_{0} Δ 𝜑^{2} / 4$ : la réponse est quadratique et la sensibilité nulle. Les gyromètres introduisent un déphasage de biais de $\pm 𝜋 / 2$ (modulateur de phase à une extrémité de la bobine) pour travailler à flanc de frange, où la réponse est linéaire.

2.8.4 Applications et ordres de grandeur

Gyromètre à fibre optique. Pour une bobine de longueur $𝐿$ et de diamètre $𝐷$ , $𝑁 𝐴 = 𝐿 𝐷 / 4$ et $Δ 𝜑 = 2 𝜋 𝐿 𝐷 Ω / (𝜆 𝑐)$ . Avec $𝐿 = 1$ km, $𝐷 = 10$ cm et $𝜆 = 1,55 𝜇 m$ , on trouve $Δ 𝜑 ≃ 2,4 \cdot 10^{- 2}$ rad pour $Ω = 1 ° / 𝑠$ , et environ $10^{- 4}$ rad pour la rotation de la Terre ( $15 ° / ℎ$ ).

Gyromètre à laser. Dans une cavité laser en anneau, les deux ondes contra-propagatives oscillent à des fréquences légèrement différentes, et le battement vaut $Δ 𝜈 = 4 𝐴 Ω / (𝜆 𝑃)$ , où $𝑃$ est le périmètre : la mesure d’un déphasage devient une mesure de fréquence.

Navigation et géophysique. Les gyromètres à fibre et à laser équipent les avions, les sous-marins et les lanceurs (centrales inertielles). Des anneaux laser de plusieurs mètres de côté mesurent les variations de la rotation de la Terre.

Pour aller plus loin. G. Sagnac, Comptes rendus de l’Académie des sciences 157, 708 (1913) ; E. J. Post, Reviews of Modern Physics 39, 475 (1967) ; H. C. Lefèvre, The Fiber-Optic Gyroscope, Artech House.