Réseau de diffraction (division du front d’onde)

3.2.1 Principe

Un réseau est formé de $𝑁$ fentes (ou traits) identiques, équidistantes du pas $𝑎$ , éclairées par une onde plane. Chaque fente diffracte la lumière et joue le rôle d’une source secondaire : c’est une division du front d’onde en $𝑁$ ondes. À l’infini, dans la direction $𝜃$ pour une incidence $𝜃_{𝑖}$ , deux fentes voisines diffèrent en marche de $𝛿 = 𝑎 (sin 𝜃 - sin 𝜃_{𝑖})$ , soit en phase de $𝜑 = 2 𝜋 𝛿 / 𝜆$ . Les $𝑁$ ondes sont en phase quand $𝛿 = 𝑝 𝜆$ , avec $𝑝$ entier.

Fig. 27. – Réseau éclairé par une onde plane : les ordres

𝑝 = 0, \pm 1

sont focalisés par une lentille. À droite, la différence de marche

𝛿 = 𝑎 sin 𝜃

entre deux fentes voisines (angle exagéré).

3.2.2 Intensité diffractée

La somme des $𝑁$ ondes, de même amplitude et déphasées de $𝜑$ de fente en fente, est une série géométrique $\sum_{𝑘 = 0}^{𝑁 - 1} 𝑒^{𝑗 𝑘 𝜑} = (1 - 𝑒^{𝑗 𝑁 𝜑}) / (1 - 𝑒^{𝑗 𝜑})$ , d’où l’éclairement, avec $𝐼_{1}$ celui d’une seule fente :

𝐼 = 𝐼_{1} {(\frac{sin (𝑁 𝜑 / 2)}{sin (𝜑 / 2)})}^{2} .

(35)

Les maxima principaux, de valeur $𝑁^{2} 𝐼_{1}$ , sont aux ordres $𝜑 = 2 𝜋 𝑝$ . Entre deux d’entre eux, il y a $𝑁 - 1$ zéros et $𝑁 - 2$ maxima secondaires faibles. Le premier zéro suivant un maximum est à $𝑁 𝜑 / 2 = 𝜋$ , d’où une largeur angulaire $Δ 𝜃 ≃ 𝜆 / (𝑁 𝑎 cos 𝜃)$ : plus $𝑁$ est grand, plus les pics sont fins.

Fig. 28. – Intensité diffractée par

𝑁

fentes, normalisée : les pics se resserrent quand

𝑁

augmente.

3.2.3 Dispersion et pouvoir de résolution

La dispersion angulaire vaut $𝑑 𝜃 / 𝑑 𝜆 = 𝑝 / (𝑎 cos 𝜃)$ . Deux longueurs d’onde $𝜆$ et $𝜆 + 𝛿 𝜆$ sont séparées (critère de Rayleigh) quand le maximum de l’une tombe sur le premier zéro de l’autre, soit $(𝑑 𝜃 / 𝑑 𝜆) 𝛿 𝜆 = 𝜆 / (𝑁 𝑎 cos 𝜃)$ .

3.2.4 Limite de taille

Avec $𝐿 = 𝑁 𝑎$ la largeur éclairée, $𝑝 𝑁 = 𝐿 (sin 𝜃 - sin 𝜃_{𝑖}) / 𝜆 \leq 2 𝐿 / 𝜆$ : la résolution ne dépend que de la taille du réseau, pas de son pas. Pour $𝐿 = 10$ cm et $𝜆 = 500$ nm, $𝜆 / 𝛿 𝜆 \leq 4 \cdot 10^{5}$ . Au-delà, il faudrait un réseau plus grand, très difficile à graver, ou des mosaïques de réseaux. Un Fabry-Pérot de 5 mm d’épaisseur atteint déjà $6 \cdot 10^{5}$ : pour les très hautes résolutions, les interféromètres prennent le relais.

3.2.5 Types de réseaux

Type	Principe	Usage
Transmission	fentes ou traits opaques sur une lame de verre	travaux pratiques, 100 à 1000 traits/mm
Gravé, en réflexion	traits gravés au diamant sur une surface métallisée	spectromètres, monochromateurs
Blazé	traits en dents de scie qui concentrent la lumière dans un ordre	rendement jusqu’à 80 %
Holographique	franges de deux faisceaux laser enregistrées dans une résine	peu de lumière parasite, ultraviolet
Échelle	grand pas, ordres élevés ( $𝑝 \sim 10$ à $100$ )	très haute résolution en astronomie

Prix. Un réseau de laboratoire de 25 mm × 25 mm, à 600 traits/mm, coûte environ 100 à 200 € ; il est copié à partir d’un réseau maître, bien plus cher à graver. Les lames de réseau en plastique pour les travaux pratiques ne coûtent que quelques euros.

3.2.6 Réseaux dans la vie courante

Les pistes d’un CD (pas $1,6$ µm), d’un DVD ( $0,74$ µm) et d’un Blu-ray ( $0,32$ µm) forment un réseau en réflexion : les irisations de leur tranche en sont la signature. À incidence normale, $𝑎 = 𝜆 / sin 𝜃_{1}$ . Avec un laser de $633$ nm, un CD diffracte à $𝜃_{1} ≃ 23 °$ et un DVD à $59 °$ , ce qui permet de mesurer leur pas avec un pointeur laser. Pour le Blu-ray, $𝑎$ est inférieur à $𝜆$ : il ne diffracte pas la lumière visible. Les plumes et les ailes de papillon donnent des irisations de même nature.

3.2.7 Du réseau au cristal

Un cristal est un réseau à trois dimensions : des plans atomiques, espacés de $𝑑$ , réfléchissent partiellement les rayons X, et les ondes réfléchies sont en phase si

2 𝑑 sin 𝜃 = 𝑝 𝜆 (loi de Bragg).

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Max von Laue observe la diffraction des rayons X par un cristal en 1912, puis W. H. et W. L. Bragg en déduisent la structure de cristaux (1913). Il faut $𝜆 ≲ 2 𝑑$ , soit des rayons X pour $𝑑$ de l’ordre de $0,1$ à $0,3$ nm.

Pour aller plus loin. J.-P. Pérez, Optique : fondements et applications, Dunod ; E. Hecht, Optique, Pearson ; C. Palmer et E. Loewen, Diffraction Grating Handbook, Newport.