Interféromètre stellaire de Michelson

5.1.1 Principe

Interférences par division du front d’onde, comme les fentes d’Young : l’étoile, à l’infini, envoie un front d’onde quasi plan. Les miroirs extérieurs $𝑀_{1}$ et $𝑀_{2}$ , écartés de $𝐷$ , en prélèvent deux portions et, via $𝑀_{3}$ et $𝑀_{4}$ , envoient les deux faisceaux dans l’objectif d’un télescope, où ils interfèrent. Les trajets $𝑀_{1} 𝑀_{3}$ et $𝑀_{2} 𝑀_{4}$ ont la même longueur : pour une étoile dans l’axe, la différence de marche est nulle.

Fig. 46. – Interféromètre stellaire de Michelson (vue de dessus, schématique). L’étoile n’est pas ponctuelle : chaque point donne son propre système de franges, décalé selon sa direction. Leur somme a un contraste réduit, d’autant plus que

𝐷

est grand.

5.1.2 Deux distances, deux rôles

La distance $𝑎$ entre $𝑀_{3}$ et $𝑀_{4}$ est fixe : c’est elle qui joue le rôle de la distance entre fentes d’Young et fixe l’interfrange dans le plan focal de l’objectif, de focale $𝑓$ :

𝑖 = \frac{𝜆 𝑓}{𝑎} .

(55)

La distance $𝐷$ entre $𝑀_{1}$ et $𝑀_{2}$ se règle en écartant symétriquement les miroirs extérieurs. Elle ne change pas l’interfrange mais la sensibilité du montage à la taille de l’étoile : c’est la base de l’interféromètre.

5.1.3 Décalage des franges selon la direction

Pour un point de l’étoile vu dans la direction $𝛼$ (petit angle par rapport à l’axe, dans le plan des miroirs), le front d’onde atteint $𝑀_{1}$ et $𝑀_{2}$ avec un retard relatif $𝛿 = 𝐷 𝛼$ . Les trajets suivants étant égaux, cette différence de marche s’ajoute à celle de la position $𝑥$ dans le plan focal :

𝐼_{𝛼} (𝑥) = 2 𝐼_{0} (1 + cos (2 𝜋 (\frac{𝑥}{𝑖} + \frac{𝐷 𝛼}{𝜆}))) .

(56)

Un point hors de l’axe donne donc les mêmes franges, décalées de $Δ 𝑥 = 𝑖 𝐷 𝛼 / 𝜆$ : deux points de l’étoile donnent des systèmes de franges décalés l’un par rapport à l’autre.

5.1.4 Contraste des franges

Les points d’une étoile sont incohérents entre eux : on additionne les éclairements de ces systèmes de franges. Si $𝐵 (𝛼)$ est la brillance angulaire de l’étoile, normalisée par $\int 𝐵 (𝛼) d 𝛼 = 1$ ,

𝐼 (𝑥) = 2 𝐼_{0} \int 𝐵 (𝛼) [1 + cos (2 𝜋 (\frac{𝑥}{𝑖} + \frac{𝐷 𝛼}{𝜆}))] d 𝛼 = 2 𝐼_{0} [1 + 𝐶 cos (2 𝜋 \frac{𝑥}{𝑖} + 𝜑)],

(57)

avec 𝐶 𝑒^{𝑗 𝜑} = \int 𝐵 (𝛼) 𝑒^{𝑗 2 𝜋 𝐷 𝛼 / 𝜆} d 𝛼 (𝑗^{2} = - 1) .

(58)

Le contraste $𝐶 = (𝐼_{max} - 𝐼_{min}) / (𝐼_{max} + 𝐼_{min})$ (ou visibilité des franges) est donc le module de la transformée de Fourier de $𝐵$ à la fréquence spatiale $𝐷 / 𝜆$ : c’est le théorème de Van Cittert-Zernike. Trois cas :

Deux étoiles identiques, séparées de $Δ 𝜃$ : $𝐵$ est la somme de deux pics en $\pm Δ 𝜃 / 2$ , d’où $𝐶 𝑒^{𝑗 𝜑} = cos (𝜋 𝐷 Δ 𝜃 / 𝜆)$ et $𝐶 = | cos (𝜋 𝐷 Δ 𝜃 / 𝜆) |$ , qui s’annule pour $𝐷 = 𝜆 / (2 Δ 𝜃)$ .

Bande uniforme de largeur angulaire $𝜃$ ( $𝐵 = 1 / 𝜃$ sur $[- 𝜃 / 2, 𝜃 / 2]$ ) :

𝐶 𝑒^{𝑗 𝜑} = \frac{1}{𝜃} \int_{- 𝜃 / 2}^{𝜃 / 2} 𝑒^{𝑗 2 𝜋 𝐷 𝛼 / 𝜆} d 𝛼 = \frac{sin (𝜋 𝐷 𝜃 / 𝜆)}{𝜋 𝐷 𝜃 / 𝜆},

(59)

donc $𝐶 = | sinc (𝜋 𝐷 𝜃 / 𝜆) |$ , qui s’annule pour $𝐷 = 𝜆 / 𝜃$ .

Disque uniforme de diamètre angulaire $𝜃$ : le même calcul en deux dimensions (la largeur du disque dans la direction perpendiculaire à la base vaut $\sqrt{1 - {(2 𝛼 / 𝜃)}^{2}}$ à un facteur près) fait apparaître une fonction de Bessel.

Fig. 47. – Contraste en fonction de

𝑢 = 𝐷 𝜃 / 𝜆

: plus l’étoile est étendue, plus le contraste chute vite avec la base

𝐷

Application à Bételgeuse. Michelson et Pease observent à $𝜆 ≃ 575$ nm la disparition des franges pour $𝐷 ≃ 3,1$ m, soit $𝜃 = 1,22 𝜆 / 𝐷 ≃ 2,3 \cdot 10^{- 7}$ rad, c’est-à-dire environ 0,047 seconde d’arc.

Limites. Le montage doit rester stable à une fraction de longueur d’onde sur plusieurs mètres, et la turbulence atmosphérique brouille les franges : la base reste de quelques mètres. Pour aller plus loin, on sépare davantage les télescopes (interférométrie à longue base).

Pour aller plus loin. A. A. Michelson et F. G. Pease, Astrophysical Journal 53, 249 (1921) ; M. Born et E. Wolf, Principles of Optics, Cambridge University Press ; E. Hecht, Optique, Pearson.