Modèle de l’atome de Bohr : la quantification de l’énergie

Le modèle de Rutherford de l’électron orbitant autour du noyau ne pouvant être stable dans le temps d’après l’électrofynamique classique, il est nécessaire d’aborder une nouvelle approche de l’atome pour palier à ce défaut : c’est l’introduction d’un modèle quantique de l’atome.

Au début du XXème siècle, il faut comprendre que la mécanique quantique n’en est encore qu’à ses balbutiements : la quantification de certaines grandeurs n’apparaît qu’en 1900 avec la loi de Planck sur le rayonnement, où il introduit sa fameuse constante éponyme empiriquement pour retrouver le rayonnement du corps noir à partir de la statistique de Boltzmann, faute de mieux.

Cette fiche propose deux raisonnement complémentaires qui permettent d’arriver au modèle de Bohr, plus ou moins cohérents historiquement :

une approche expérimentale, qui part des raies spectrales de l’hydrogène pour arriver à une formulation des niveaux d’énergie de celui-ci, puis cherche quelle grandeur de l’orbite classique doit être quantifiée pour les reproduire. Elle est non canonique mais assez simple à suivre et montre qu’on ne pouvait qu’aboutir à la quantification du moment cinétique¹ ;
l’approche de Bohr lui-même (1913), qui part de considérations théoriques et prédit la quantification du moment cinétique de l’électron, ainsi que l’expression théorique de la constante de Rydberg.

5.1 Raies de l’hydrogène

Spectres de raies. Un gaz chaud et dilué n’émet pas un spectre continu, comme un corps noir, mais un ensemble de raies fines, caractéristiques de l’élément : c’est la base de l’analyse spectrale de Kirchhoff et Bunsen (1859). Le spectre continu du rayonnement thermique relève d’une autre physique, traitée dans la fiche sur le rayonnement.

Comment on observait les raies. L’instrument est le spectroscope (Fig. 2). La lumière du gaz, excité par une décharge électrique dans un tube de verre (tube de Geissler), éclaire une fente fine placée au foyer d’une lentille : c’est le collimateur, qui en fait un faisceau parallèle. Un prisme dévie ce faisceau d’un angle qui dépend de la longueur d’onde, et l’on observe à l’œil, dans une lunette réglée à l’infini, une série d’images colorées de la fente : les raies. La lunette tourne autour du prisme, et l’on repère chaque raie par sa déviation $𝐷$ , lue sur un cercle gradué. Un prisme ne donne que des positions relatives, qu’il faut étalonner sur des raies connues. Les longueurs d’onde absolues sont obtenues avec des réseaux de diffraction : c’est ainsi qu’Ångström mesure, en 1868, les quatre raies visibles de l’hydrogène au dixième d’ångström près.

Fig. 2. – Spectroscope à prisme, du type de celui de Kirchhoff et Bunsen (vue de dessus). La lentille du collimateur rend parallèle la lumière issue de la fente. Le prisme dévie chaque longueur d’onde d’un angle différent ; on vise une raie à la lunette et on lit sa déviation

𝐷

sur un cercle gradué.

Formule de Balmer (1885). Balmer ne dispose que des quatre raies visibles mesurées par Ångström. Il remarque que leurs longueurs d’onde s’écrivent toutes comme un même « nombre fondamental de l’hydrogène » $𝐵 \approx 364, 56 nm$ , multiplié par une fraction simple :

𝜆 = 𝐵 \frac{𝑛^{2}}{𝑛^{2} - 4}, 𝑛 = 3, 4, 5, 6,

(10)

avec un accord de l’ordre du dixième d’ångström, soit quelques $10^{- 6}$ en valeur relative. Il vérifie ensuite que sa formule rend aussi compte de raies ultraviolettes photographiées par Vogel, et par Huggins dans le spectre des étoiles blanches². On l’écrit aujourd’hui en nombre d’onde, avec $𝑅_{𝐻} = 4 / 𝐵$ :

\frac{1}{𝜆} = 𝑅_{𝐻} (\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{𝑛^{2}}), 𝑛 = 3, 4, 5, \dots

(11)

Les raies s’accumulent vers la limite de la série, $𝜆_{\infty} = 𝐵 \approx 364, 6 nm$ , quand $𝑛 \to \infty$ (Fig. 3).

Fig. 3. – Série de Balmer, positions calculées par la formule. Les raies se resserrent vers la limite

𝐵 \approx 364, 6 nm

Formule de Rydberg (1890). Rydberg généralise la formule à toutes les séries de l’hydrogène :

\frac{1}{𝜆} = 𝑅_{𝐻} (\frac{1}{𝑝^{2}} - \frac{1}{𝑛^{2}}), 𝑛 > 𝑝 \geq 1, 𝑅_{𝐻} \approx 1, 0968 \times 10^{7} m^{- 1} .

(12)

Série	$𝑝$	Année	Domaine	Première raie $(𝑛 = 𝑝 + 1)$
Lyman	1	1906	ultraviolet	121,6 nm
Balmer	2	1885	visible	656,3 nm
Paschen	3	1908	infrarouge	1,875 µm
Brackett	4	1922	infrarouge	4,05 µm
Pfund	5	1924	infrarouge	7,46 µm

Tableau 3. – Séries de l’hydrogène.

Des raies aux niveaux d’énergie. Le nombre d’onde de chaque raie est la différence de deux termes $𝑇 (𝑛) = 𝑅_{𝐻} / 𝑛^{2}$ : c’est le principe de combinaison de Ritz (1908). Avec la relation de Planck-Einstein, un photon de fréquence $𝜈$ emporte l’énergie $ℎ 𝜈 = ℎ 𝑐 / 𝜆$ . Si l’atome passe d’un niveau $𝐸_{𝑛}$ à un niveau $𝐸_{𝑝}$ en émettant ce photon, alors

𝐸_{𝑛} - 𝐸_{𝑝} = ℎ 𝑐 𝑅_{𝐻} (\frac{1}{𝑝^{2}} - \frac{1}{𝑛^{2}}),

(13)

ce qui s’interprète comme une différence d’énergies de niveaux :

𝐸_{𝑛} = - \frac{ℎ 𝑐 𝑅_{𝐻}}{𝑛^{2}} + cte .

(14)

La constante est fixée en prenant $𝐸 = 0$ pour un électron libre au repos, c’est-à-dire pour $𝑛 \to \infty$ . On obtient alors :

Fig. 4. – Niveaux d’énergie de l’hydrogène (échelle linéaire en énergie) et premières raies des trois premières séries, avec l’année de leur découverte. Les niveaux

𝑛 \geq 5

se resserrent sous la limite d’ionisation

𝐸 = 0

5.2 Approche expérimentale : remonter du spectre de raies à la quantification

Hypothèses. On reprend ici le modèle planétaire de Rutherford dans le cas le plus simple : un électron de masse $𝑚_{𝑒}$ en mouvement circulaire uniforme, de rayon $𝑟$ et de vitesse $𝑣$ , autour d’un noyau fixe (masse très grande devant celle de l’électron) et qu’on considère comme un référentiel galiléen ; la seule force est l’intéraction coulombienne. On va ici supposer que les niveaux d’énergie de l’atome correspondent en fait aux niveaux d’énergie mécanique accessibles par l’électron. On note $𝑘 = 𝑒^{2} / (4 𝜋 𝜀_{0})$ .

Fig. 5. – Modèle planétaire.

Mouvement circulaire. Le principe fondamental de la dynamique, projeté sur la direction radiale, donne

𝑚_{𝑒} 𝑎 = - 𝑚_{𝑒} \frac{𝑣^{2}}{𝑟} = - \frac{𝑒^{2}}{4 𝜋 𝜀_{0} 𝑟^{2}} = - \frac{𝑘}{𝑟^{2}}, soit 𝑚_{𝑒} 𝑣^{2} = \frac{𝑘}{𝑟} .

(16)

Énergie. L’énergie mécanique vaut alors

𝐸 = \frac{1}{2} 𝑚_{𝑒} 𝑣^{2} - \frac{𝑘}{𝑟} = - \frac{1}{2} 𝑚_{𝑒} 𝑣^{2} = - \frac{𝑘}{2 𝑟} .

(17)

Moment cinétique. Avec $𝐿 = 𝑚_{𝑒} 𝑣 𝑟$ et d’après (16), on a $𝐿^{2} = 𝑚_{𝑒}^{2} 𝑣^{2} 𝑟^{2} = 𝑚_{𝑒} 𝑘 𝑟$ , donc

𝑟 = 𝐿^{2} / (𝑚_{𝑒} 𝑘) et donc 𝐸 = - \frac{𝑚_{𝑒} 𝑘^{2}}{2 𝐿^{2}} .

(18)

L’énergie de l’orbite ne dépend que de son moment cinétique.

Identification avec la spectroscopie. Pour retrouver les niveaux (15), il faut

\frac{𝑚_{𝑒} 𝑘^{2}}{2 𝐿^{2}} = \frac{ℎ 𝑐 𝑅_{𝐻}}{𝑛^{2}} ⟺ 𝐿 = 𝑛 𝑀, 𝑀 = \sqrt{\frac{𝑚_{𝑒} 𝑘^{2}}{2 ℎ 𝑐 𝑅_{𝐻}}} .

(19)

Numériquement, avec la valeur mesurée de $𝑅_{𝐻}$ , on trouve $𝑀 \approx 1, 05 \times 10^{- 34} J \cdot s$ . C’est, à la précision des mesures près, $ℎ / 2 𝜋 = ℏ$ .

On en déduit une expression théorique de $𝑅_{𝐻}$ , notée $𝑅_{\infty}$ :

Cette démarche montre qu’on ne pouvait qu’aboutir à cette condition expérimentalement, mais elle part du résultat : elle utilise la valeur mesurée de $𝑅_{𝐻}$ . Cette valeur n’adhère d’ailleurs que jusqu’à la 3ème décimale avec la valeur théorique $𝑅_{\infty}$ du fait de la simplification du problème :

La démarche précédente est purement empirique. Bohr, lui, prend le chemin théorique et prédit la quantification de $𝐿$ ainsi que la valeur de $𝑅_{𝐻}$ .

5.3 L’approche de Bohr (1913)

5.4 Le modèle de Bohr : postulats et conséquences

Les postulats de Bohr. Sous sa forme habituelle, le modèle repose sur trois hypothèses :

l’électron décrit des orbites stationnaires sur lesquelles il ne rayonne pas, en contradiction assumée avec la formule de Larmor ;
seules sont permises les orbites de moment cinétique $𝐿 = 𝑛 ℏ$ ;
le passage d’une orbite à une autre s’accompagne de l’émission ou de l’absorption d’un photon d’énergie $ℎ 𝜈 = | 𝐸_{𝑖} - 𝐸_{𝑓} |$ .

Le cas $𝑛 = 0$ est exclu : il donnerait $𝑟 = 0$ et une énergie infinie.

Rayons et vitesses. Les orbites permises ont pour rayons et vitesses

𝑟_{𝑛} = 𝑛^{2} 𝑎_{0}, 𝑎_{0} = \frac{4 𝜋 𝜀_{0} ℏ^{2}}{𝑚_{𝑒} 𝑒^{2}} \approx 52, 9 pm, 𝑣_{𝑛} = \frac{𝛼 𝑐}{𝑛}, 𝛼 = \frac{𝑘}{ℏ 𝑐} \approx \frac{1}{137} .

(23)

Le rayon de Bohr $𝑎_{0}$ donne le bon ordre de grandeur de la taille des atomes. Comme $𝑣_{1} \approx 2, 2 \times 10^{6} m/s \approx 𝑐 / 137$ , le traitement non relativiste est justifié, ce qui n’empêchera pas les corrections relativistes de jouer un rôle dans la structure fine (Sommerfeld).

5.5 Expérience de Franck et Hertz (1914)

Dispositif. Dans un tube contenant de la vapeur de mercure, des électrons émis par une cathode chauffée sont accélérés par une tension $𝑈$ vers une grille. Une faible tension retardatrice, entre la grille et l’anode, ne laisse atteindre l’anode qu’aux électrons qui ont conservé assez d’énergie cinétique. On mesure le courant d’anode $𝐼$ en fonction de $𝑈$ .

Observation. Le courant croît avec $𝑈$ , puis chute brusquement à intervalles réguliers, tous les $Δ 𝑈 \approx 4, 9 V$ .

Interprétation. Tant que leur énergie cinétique est inférieure à $4, 9 eV$ , les électrons ne subissent que des chocs élastiques avec les atomes de mercure, beaucoup plus lourds, et ne perdent presque pas d’énergie. Dès qu’elle atteint $4, 9 eV$ , un choc inélastique peut exciter un atome vers son premier niveau excité : l’électron perd cette énergie, ne franchit plus la tension retardatrice, et le courant chute. Les chutes suivantes correspondent à deux, trois… chocs inélastiques successifs.

5.6 Relecture critique à la lumière de la mécanique quantique

5.7 Modèle de Bohr-Sommerfeld

¹ajouter les papiers expérimentaux de 1912 sur le sujet ici.
²J. J. Balmer, « Notiz über die Spectrallinien des Wasserstoffs », Ann. Phys. 25, 80 (1885).
³Dire proton ici serait anachronique.
⁴R. E. Robson, R. D. White et M. Hildebrandt, « One hundred years of the Franck-Hertz experiment », Eur. Phys. J. D 68, 188 (2014).