[{"content":" Deux ondes ne donnent des franges stables que si elles sont cohérentes. Deux sources lumineuses distinctes ne le sont pas, car leurs émissions sont indépendantes : on part donc d’une seule source primaire 𝑆 et l’on en fabrique deux sources secondaires 𝑆1 et 𝑆2. Dans les dispositifs à division du front d’onde, on prélève pour cela deux zones différentes du même front d’onde, par des fentes, des miroirs, des prismes ou des lentilles. On les oppose à la division d’amplitude, où l’on sépare en deux l’amplitude de chaque rayon, par une lame ou une séparatrice.\nFig. 1. – Principe commun à tous les dispositifs à division du front d’onde : les sources secondaires 𝑆1 et 𝑆2, distantes de 𝑎, interfèrent dans la zone de recouvrement de leurs faisceaux.Pour deux sources ponctuelles cohérentes de même intensité, distantes de 𝑎, la différence de marche en un point 𝑀 d’abscisse 𝑥 d’un écran situé à la distance 𝐷 est 𝛿=𝑎𝑥/𝐷 pour 𝑥,𝑎≪𝐷. L’éclairement vaut\n𝐼(𝑥)=2𝐼0(1+cos(2𝜋𝑎𝑥𝜆𝐷)),(1)\nsoit des franges rectilignes équidistantes, d’interfrange 𝑖=𝜆𝐷/𝑎, avec une frange centrale en 𝑥=0 (où 𝛿=0). Les dispositifs ne diffèrent que par la façon d’obtenir 𝑆1 et 𝑆2, c’est-à-dire par la valeur de 𝑎 :\nDispositifSéparation des deux zones du front d’ondeDistance 𝑎Fentes d’Youngdiffraction par deux fentes finesécartement des fentesMiroirs de Fresnelréflexion sur deux miroirs presque coplanaires, d’angle 𝛼2𝛼𝑟Biprisme de Fresnelréfraction par deux prismes d’angle 𝐴 et d’indice 𝑛2𝑑(𝑛−1)𝐴Miroir de Lloydréflexion rasante : la source et son image2ℎBilentilles de Billetdeux demi-lentilles écartées de 𝑒, de grandissement 𝛾𝑒(1+|𝛾|)Stellaire de Michelsondeux miroirs prélevant le front d’onde d’une étoilebase 𝐷Franges non localisées. Elles s’observent partout dans le champ d’interférences, où les deux faisceaux se recouvrent, sans lentille.\nCohérence spatiale. Chaque point d’une source étendue donne son propre système de franges, décalé des autres : si la fente source est trop large, les franges se brouillent. Elle doit être fine et parallèle aux franges, au prix de la luminosité.\nCohérence temporelle. La source doit être quasi monochromatique : en lumière blanche, il ne reste qu’une frange centrale blanche entourée de quelques franges colorées.\nEn résumé : tous les dispositifs à division du front d’onde se ramènent à deux sources secondaires cohérentes distantes de 𝑎, d’interfrange 𝑖=𝜆𝐷/𝑎 ; ils diffèrent par la façon d’obtenir 𝑎. Les franges sont non localisées, mais la fente source doit rester fine. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/division-front-onde/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003cp\u003eDeux ondes ne donnent des franges stables que si elles sont \u003cstrong\u003ecohérentes\u003c/strong\u003e. Deux sources lumineuses distinctes ne le sont pas, car leurs émissions sont indépendantes : on part donc d’une seule source primaire \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e et l’on en fabrique deux sources secondaires \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e et \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e. Dans les dispositifs à \u003cstrong\u003edivision du front d’onde\u003c/strong\u003e, on prélève pour cela deux zones différentes du même front d’onde, par des fentes, des miroirs, des prismes ou des lentilles. On les oppose à la division d’amplitude, où l’on sépare en deux l’amplitude de chaque rayon, par une lame ou une séparatrice.\u003c/p\u003e","title":"Principe — Interféromètres à division du front d'onde"},{"content":" Note historique. Thomas Young (1773–1829) met en évidence dès 1801 des franges d’interférences avec la lumière du Soleil (d’abord avec une simple carte fine), puis décrit en 1803 la version à deux fentes. Ces expériences plaident pour la nature ondulatoire de la lumière face à la théorie corpusculaire de Newton. Il en déduit des longueurs d’onde de l’ordre du demi-micromètre pour le visible.1.2.1 PrincipeInterférences par division du front d’onde : une source 𝑆 (fente fine) éclaire un écran opaque percé de deux fentes fines parallèles 𝑆1 et 𝑆2, distantes de 𝑎. Ces deux fentes se comportent comme des sources secondaires cohérentes, puisqu’elles prélèvent deux parties d’un même front d’onde. Leurs ondes se superposent sur un écran d’observation placé à la distance 𝐷 de l’écran percé.\nFig. 2. – Fentes d’Young : 𝑆1 et 𝑆2 sont des sources secondaires cohérentes (échelles non respectées).1.2.2 Différence de marche et interfrangeOn suppose 𝑆 sur la médiatrice de 𝑆1𝑆2, de sorte que 𝑆1 et 𝑆2 vibrent en phase. En un point 𝑀 de l’écran d’abscisse 𝑥 (comptée depuis la médiatrice, perpendiculairement aux fentes), avec 𝑆1 en −𝑎2 et 𝑆2 en +𝑎2, on a (𝑆1𝑀)2=𝐷2+(𝑥+𝑎2)2 et (𝑆2𝑀)2=𝐷2+(𝑥−𝑎2)2, donc (𝑆1𝑀)2−(𝑆2𝑀)2=2𝑎𝑥 et la différence de marche\n𝛿=𝑆1𝑀−𝑆2𝑀=(𝑆1𝑀)2−(𝑆2𝑀)2𝑆1𝑀+𝑆2𝑀=2𝑎𝑥𝑆1𝑀+𝑆2𝑀≃𝑎𝑥𝐷(2)\npour 𝑥,𝑎≪𝐷, puisque 𝑆1𝑀+𝑆2𝑀≃2𝐷. Si 𝐼0 est l’éclairement d’une seule fente, l’éclairement résultant vaut\n𝐼(𝑥)=2𝐼0(1+cos(2𝜋𝛿𝜆))=2𝐼0(1+cos(2𝜋𝑎𝑥𝜆𝐷)).(3)\nLes franges brillantes vérifient 𝛿=𝑝𝜆, où l’entier 𝑝 est l’ordre d’interférence, soit 𝑥𝑝=𝑝𝜆𝐷/𝑎. Les franges sombres correspondent à 𝛿=(𝑝+1/2)𝜆.\nInterfrange\n𝑖=𝜆𝐷𝑎(4)\nLes franges sont rectilignes, parallèles aux fentes et équidistantes. Elles sont non localisées : on les observe partout où les deux faisceaux se recouvrent, sans lentille. Ordre de grandeur : 𝜆=550 nm, 𝑎=0,5 mm et 𝐷=1 m donnent 𝑖=1,1 mm.\nRemarque. Si chaque fente a une largeur 𝑒, sa diffraction module l’éclairement par une enveloppe en sinc2(𝜋𝑒𝑥/(𝜆𝐷)) : les franges d’interférences sont observées dans le lobe central de diffraction.1.2.3 Cohérence et contrasteCohérence spatiale. Si la source est une fente de largeur 𝑏, située à la distance 𝑑0 de l’écran percé, chaque point de la source donne un système de franges décalé par rapport aux autres. Leur superposition fait chuter le contraste, qui vaut 𝐶=|sinc(𝜋𝑎𝑏/(𝜆𝑑0))| et s’annule pour 𝑏=𝜆𝑑0/𝑎 : pour des franges nettes, il faut 𝑏≪𝜆𝑑0/𝑎, ce qui oblige à affiner la fente source au prix d’une perte de luminosité. La fente source doit aussi être parallèle aux fentes d’Young.\nCohérence temporelle. Avec une source non monochromatique, de largeur spectrale Δ𝜆, les franges se brouillent quand la différence de marche dépasse la longueur de cohérence 𝐿𝑐=𝜆2/Δ𝜆. En lumière blanche, on n’observe que quelques franges colorées autour de la frange centrale 𝑝=0, qui reste blanche car elle est achromatique.\nPour aller plus loin. J.-P. Pérez, Optique : fondements et applications, Dunod ; E. Hecht, Optique, Pearson ; Th. Young, Philosophical Transactions of the Royal Society (1804). ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/fentes-young/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Thomas Young (1773–1829) met en évidence dès 1801 des franges d’interférences avec la lumière du Soleil (d’abord avec une simple carte fine), puis décrit en 1803 la version à deux fentes. Ces expériences plaident pour la nature ondulatoire de la lumière face à la théorie corpusculaire de Newton. Il en déduit des longueurs d’onde de l’ordre du demi-micromètre pour le visible.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"1-2-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e1.2.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eInterférences par \u003cstrong\u003edivision du front d’onde\u003c/strong\u003e : une source \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e (fente fine) éclaire un écran opaque percé de deux fentes fines parallèles \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e et \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e, distantes de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑎\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. Ces deux fentes se comportent comme des sources secondaires \u003cem\u003ecohérentes\u003c/em\u003e, puisqu’elles prélèvent deux parties d’un même front d’onde. Leurs ondes se superposent sur un écran d’observation placé à la distance \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝐷\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e de l’écran percé.\u003c/p\u003e","title":"Fentes d’Young"},{"content":" Note historique. Augustin Fresnel (1788–1827) décrit ses deux miroirs en 1816, parmi les expériences qui l’amènent à défendre la théorie ondulatoire : les franges viennent de deux images virtuelles d’une même fente, par simple réflexion.1.3.1 PrincipeInterférences par division du front d’onde : la lumière d’une fente source 𝑆 est séparée en deux faisceaux par deux miroirs plans d’arête commune 𝑂, dont les faces réfléchissantes forment un angle 𝜋−𝛼, avec 𝛼 très petit. La fente 𝑆 est située à la distance 𝑟 de l’arête. Chaque miroir en donne une image virtuelle, 𝑆1 et 𝑆2 : toutes deux sont à la distance 𝑟 de 𝑂 et sont vues depuis 𝑂 sous l’angle 2𝛼, d’où leur distance 𝑎=2𝛼𝑟. Comme 𝑆1 et 𝑆2 proviennent de la même source, elles sont cohérentes ; les interférences s’observent là où les deux faisceaux se recouvrent, dans le champ d’interférences.\nFig. 3. – Principe (angles et échelle verticale exagérés).1.3.2 Franges d’interférencesEn un point de l’écran d’abscisse 𝑥 (comptée perpendiculairement aux franges, depuis la médiatrice de 𝑆1𝑆2), la différence de marche vaut 𝛿=𝑎𝑥/𝐷 pour 𝑥,𝑎≪𝐷, où 𝐷=𝑟+𝑑 est la distance des sources à l’écran. Les franges brillantes vérifient 𝛿=𝑝𝜆, d’où des franges rectilignes, parallèles à l’arête, d’interfrange\n𝑖=𝜆𝐷𝑎=𝜆(𝑟+𝑑)2𝛼𝑟(5)\nLe champ d’interférences est un secteur d’ouverture angulaire 2𝛼 issu de 𝑂 : sur l’écran, sa largeur est de l’ordre de 2𝛼𝑑, ce qui limite le nombre de franges observables à 𝑁∼2𝛼𝑑/𝑖.\nRemarque. La fente source doit être parallèle à l’arête et assez fine (cohérence spatiale), au prix de la luminosité.1.3.3 MontageFig. 4. – Montage sur le banc : lampe Q-I et condenseur sur la fente, miroirs en incidence rasante.1.3.4 Mesure de l’angle entre les miroirsOn mesure la longueur 𝐿 occupée par 𝑁 franges, soit 𝑖=𝐿/𝑁. D’après (5) :\n𝛼=𝜆(𝑟+𝑑)2𝑟𝑖(6)\nOrdre de grandeur attendu : 𝛼∼10−3 rad.\nPour aller plus loin. J.-P. Pérez, Optique : fondements et applications, Dunod ; E. Hecht, Optique, Pearson ; S. Houard, Optique : une approche expérimentale et pratique, De Boeck. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/miroirs-fresnel/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Augustin Fresnel (1788–1827) décrit ses deux miroirs en 1816, parmi les expériences qui l’amènent à défendre la théorie ondulatoire : les franges viennent de deux images virtuelles d’une même fente, par simple réflexion.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"1-3-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e1.3.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eInterférences par \u003cstrong\u003edivision du front d’onde\u003c/strong\u003e : la lumière d’une fente source \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e est séparée en deux faisceaux par deux miroirs plans d’arête commune \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑂\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, dont les faces réfléchissantes forment un angle \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜋\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝛼\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, avec \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝛼\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e très petit. La fente \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e est située à la distance \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑟\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e de l’arête. Chaque miroir en donne une image virtuelle, \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e et \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e : toutes deux sont à la distance \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑟\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑂\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e et sont vues depuis \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑂\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e sous l’angle \u003cmath\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003e𝛼\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, d’où leur distance \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑎\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003e𝛼\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑟\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. Comme \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e et \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e proviennent de la même source, elles sont cohérentes ; les interférences s’observent là où les deux faisceaux se recouvrent, dans le \u003cem\u003echamp d’interférences\u003c/em\u003e.\u003c/p\u003e","title":"Miroirs de Fresnel"},{"content":" Note historique. Augustin Fresnel (1788–1827) imagine le biprisme, voisin de ses miroirs, où les faisceaux sont séparés par réfraction : les franges sont plus lumineuses qu’avec les trous d’Young.1.4.1 PrincipeInterférences par division du front d’onde : le biprisme est formé de deux prismes identiques, accolés par leur base, d’angle au sommet 𝐴 très petit (de l’ordre de 0,5°) et d’indice 𝑛. Une fente source 𝑆, parallèle à l’arête et située à la distance 𝑑 du biprisme, est vue à travers chaque demi-prisme comme une source virtuelle : un prisme mince dévie les rayons d’un angle (𝑛−1)𝐴 vers sa base, donc vers l’axe. Les deux sources virtuelles 𝑆1 et 𝑆2 sont cohérentes (même source primaire) et distantes de 𝑎=2𝑑(𝑛−1)𝐴.\nFig. 5. – Biprisme de Fresnel (angle 𝐴 et déviations très exagérés) : à travers les deux demi-prismes,\nla source 𝑆 est vue en 𝑆1 et 𝑆2 ; les deux faisceaux se recouvrent dans le champ d’interférences.1.4.2 Franges d’interférencesLes deux faisceaux se recouvrent dès la sortie du biprisme, dans un secteur d’ouverture angulaire 2(𝑛−1)𝐴 issu de l’arête : c’est le champ d’interférences. Sur un écran placé à la distance 𝑑′ du biprisme, soit à 𝐷=𝑑+𝑑′ des sources, on retrouve le calcul des fentes d’Young : 𝛿=𝑎𝑥/𝐷 pour 𝑥,𝑎≪𝐷, et des franges rectilignes, parallèles à l’arête, d’interfrange\nInterfrange\n𝑖=𝜆𝐷𝑎=𝜆(𝑑+𝑑′)2𝑑(𝑛−1)𝐴(7)\nOrdre de grandeur : pour 𝑛=1,5, 𝐴=0,5°, 𝑑=20 cm, 𝑑′=80 cm et 𝜆=550 nm, on trouve 𝑎≃1,7 mm et 𝑖≃0,3 mm.\nSur l’écran, le champ a pour largeur ℓ=2(𝑛−1)𝐴𝑑′, ce qui limite le nombre de franges observables à 𝑁=ℓ/𝑖=4𝑑𝑑′(𝑛−1)2𝐴2/(𝜆(𝑑+𝑑′)), soit une vingtaine ici.\n1.4.3 Dépendance en longueur d’onde et lumière blancheL’interfrange dépend de 𝜆 de deux façons : directement (𝑖∝𝜆) et par l’indice du verre, qui intervient dans 𝑎 : 𝑖(𝜆)=𝜆𝐷2𝑑(𝑛(𝜆)−1)𝐴. Contrairement aux miroirs de Fresnel, où 𝑎=2𝛼𝑟 est géométrique, la dispersion du verre joue ici un rôle, mais secondaire : pour un verre usuel, 𝑛−1 varie d’environ 3 % entre 400 et 700 nm, alors que 𝜆 varie de 75 %. Ainsi 𝑖 est quasi proportionnel à 𝜆.\nEn lumière blanche, chaque longueur d’onde forme son propre système de franges. En 𝑥=0, on a 𝛿=0 pour toutes les longueurs d’onde : la frange centrale (𝑝=0) est blanche. Les franges d’ordre 𝑝≠0 sont en 𝑥𝑝(𝜆)=𝑝𝜆𝐷/𝑎 : le bleu est plus proche du centre que le rouge, d’où des franges irisées, bleues côté centre et rouges côté extérieur. Quand |𝑝| augmente, les couleurs se décalent de plus d’un interfrange et se brouillent en un blanc d’ordre supérieur : les franges disparaissent dès que |𝛿|=|𝑝|𝜆 dépasse 𝐿𝑐=𝜆2/Δ𝜆, soit |𝑝|≲2 pour Δ𝜆∼300 nm.\nEn résumé : en lumière blanche, frange centrale blanche entourée de deux ou trois franges irisées de chaque côté ; avec une source quasi monochromatique, tout le champ (une vingtaine de franges) est visible.Pour aller plus loin. J.-P. Pérez, Optique : fondements et applications, Dunod ; E. Hecht, Optique, Pearson ; S. Houard, Optique : une approche expérimentale et pratique, De Boeck. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/biprisme-fresnel/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Augustin Fresnel (1788–1827) imagine le biprisme, voisin de ses miroirs, où les faisceaux sont séparés par réfraction : les franges sont plus lumineuses qu’avec les trous d’Young.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"1-4-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e1.4.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eInterférences par \u003cstrong\u003edivision du front d’onde\u003c/strong\u003e : le biprisme est formé de deux prismes identiques, accolés par leur base, d’angle au sommet \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝐴\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e très petit (de l’ordre de 0,5°) et d’indice \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑛\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. Une fente source \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, parallèle à l’arête et située à la distance \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑑\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e du biprisme, est vue à travers chaque demi-prisme comme une source virtuelle : un prisme mince dévie les rayons d’un angle \u003cmath\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003e𝑛\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmi\u003e𝐴\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e vers sa base, donc vers l’axe. Les deux sources virtuelles \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e et \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e sont cohérentes (même source primaire) et distantes de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑎\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003e𝑑\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003e𝑛\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmi\u003e𝐴\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e.\u003c/p\u003e","title":"Biprisme de Fresnel"},{"content":" Note historique. Humphrey Lloyd (1800–1881), physicien irlandais, imagine en 1834 un dispositif à un seul miroir. Il y observe une frange centrale sombre, qui met en évidence le déphasage de 𝜋 à la réflexion sur un milieu plus réfringent.1.5.1 PrincipeUn miroir plan est éclairé en incidence rasante par une fente source 𝑆, située à la hauteur ℎ au-dessus de son plan. La lumière réfléchie semble venir de l’image 𝑆′ de 𝑆 dans le miroir : 𝑆 et 𝑆′ jouent le rôle des deux sources, distantes de 𝑎=2ℎ. Ici l’une des deux sources est la source primaire elle-même : le front d’onde est divisé en réfléchissant une partie de lui-même sur le miroir. L’écran est placé perpendiculairement au miroir, au voisinage de son extrémité, et l’on n’observe les franges qu’au-dessus du plan du miroir.\nFig. 6. – Miroir de Lloyd : le faisceau réfléchi semble issu de l’image 𝑆′. Les franges se forment au-dessus du plan du miroir, et la première, à 𝑧=0, est sombre.1.5.2 Différence de marche et frangesPour un point 𝑀 de l’écran, à la hauteur 𝑧 au-dessus du plan du miroir et à la distance 𝐷 de la source, 𝑆𝑀=𝐷2+(𝑧−ℎ)2 et 𝑆′𝑀=𝐷2+(𝑧+ℎ)2, donc pour 𝑧,ℎ≪𝐷\n𝑆′𝑀−𝑆𝑀≃2ℎ𝑧𝐷.(8)\nLa réflexion apporte en plus un déphasage de 𝜋, équivalent à une différence de marche de 𝜆/2 : 𝛿=2ℎ𝑧/𝐷+𝜆/2. L’éclairement vaut\n𝐼(𝑧)=2𝐼0(1+cos(2𝜋𝛿𝜆))=2𝐼0(1−cos(4𝜋ℎ𝑧𝜆𝐷)).(9)\nFranges de Lloyd\n𝑖=𝜆𝐷2ℎ(10)\nLa frange en 𝑧=0, c’est-à-dire sur le miroir, est sombre : les franges brillantes sont en 𝑧=(𝑝+1/2)𝑖. Ordre de grandeur : 𝜆=550 nm, ℎ=0,5 mm et 𝐷=1 m donnent 𝑖=0,55 mm.\n1.5.3 RemarquesUn demi-système de franges. Contrairement aux fentes d’Young, seul le demi-espace situé au-dessus du miroir est utilisable : le champ d’interférences est limité par la longueur du miroir et par l’inclinaison des rayons.\nIncidence rasante. Le pouvoir réflecteur est voisin de 1 près de l’incidence rasante, ce qui équilibre l’éclairement des deux faisceaux et donne des franges très contrastées.\nApplication. Le même principe sert en radioastronomie (antenne en haut d’une falaise, la mer jouant le rôle du miroir), au milieu du XXe siècle.\nPour aller plus loin. J.-P. Pérez, Optique : fondements et applications, Dunod ; E. Hecht, Optique, Pearson ; M. Born et E. Wolf, Principles of Optics, Cambridge University Press. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/miroir-lloyd/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Humphrey Lloyd (1800–1881), physicien irlandais, imagine en 1834 un dispositif à un seul miroir. Il y observe une frange centrale sombre, qui met en évidence le déphasage de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜋\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e à la réflexion sur un milieu plus réfringent.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"1-5-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e1.5.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eUn miroir plan est éclairé en incidence rasante par une fente source \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, située à la hauteur \u003cmath\u003e\u003cmi\u003eℎ\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e au-dessus de son plan. La lumière réfléchie semble venir de l’image \u003cmath\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/math\u003e de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e dans le miroir : \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e et \u003cmath\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/math\u003e jouent le rôle des deux sources, distantes de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑎\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003eℎ\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. Ici l’une des deux sources est la source primaire elle-même : le front d’onde est divisé en réfléchissant une partie de lui-même sur le miroir. L’écran est placé perpendiculairement au miroir, au voisinage de son extrémité, et l’on n’observe les franges qu’au-dessus du plan du miroir.\u003c/p\u003e","title":"Miroir de Lloyd"},{"content":" Note historique. Félix Billet décrit ses bilentilles vers 1858, dans son Traité d’optique physique : une lentille coupée en deux dont on écarte les moitiés fournit deux images réelles d’une même source, dispositif voisin du biprisme de Fresnel.1.6.1 PrincipeUne lentille mince convergente, de focale 𝑓′, est sciée en deux suivant un diamètre, et les deux demi-lentilles sont écartées de 𝑒 perpendiculairement à l’axe optique. L’espace qui les sépare est rendu opaque, pour qu’aucune lumière directe ne passe. Une source ponctuelle 𝑆 (fente fine) est placée sur l’axe, à la distance 𝑝\u003e𝑓′ en avant des lentilles : chaque demi-lentille en donne une image réelle, 𝑆1 et 𝑆2, qui sont deux sources secondaires cohérentes.\nFig. 7. – Bilentilles de Billet : les images 𝑆1 et 𝑆2 de 𝑆, distantes de 𝑎, sont réelles. Les axes optiques des deux demi-lentilles (axe 1 et axe 2), horizontaux et décalés de 𝑒, sont tracés du niveau de 𝑆 jusqu’à celui des images 𝑆1 et 𝑆2 ; 𝑂1 et 𝑂2 sont les centres optiques. Les faisceaux se recouvrent au-delà du point où leurs rayons extrêmes se croisent sur l’axe.1.6.2 Distance entre les sources et interfrangeLa relation de conjugaison 1/𝑝′+1/𝑝=1/𝑓′ donne la position des images et le grandissement transversal :\n𝑝′=𝑝𝑓′𝑝−𝑓′,|𝛾|=𝑝′𝑝=𝑓′𝑝−𝑓′.(11)\nPour la demi-lentille supérieure, 𝑆 est à 𝑒/2 sous son axe, et son image est à |𝛾|𝑒/2 au-dessus de cet axe, donc à (𝑒/2)(1+|𝛾|) au-dessus de l’axe commun. La seconde demi-lentille donne l’image symétrique, d’où\n𝑎=𝑒(1+|𝛾|)=𝑒𝑝𝑝−𝑓′.(12)\nPour un écran à la distance 𝐷′=𝑑−𝑝′ des sources (𝑑 étant sa distance aux lentilles), on retrouve le calcul des fentes d’Young.\nFranges de Billet\n𝑖=𝜆𝐷′𝑎=𝜆(𝑑−𝑝′)𝑒(1+|𝛾|)(13)\nLa frange centrale, sur l’axe, est brillante. Ordre de grandeur : 𝑓′=40 cm, 𝑝=60 cm (donc 𝑝′=120 cm et |𝛾|=2), 𝑒=0,5 mm, 𝑑=2 m et 𝜆=546 nm donnent 𝑎=1,5 mm, 𝐷′=80 cm et 𝑖=0,29 mm.\n1.6.3 RemarquesZone d’interférences. Les interférences s’observent dans la partie commune aux deux faisceaux, au-delà du point où se croisent leurs rayons extrêmes. L’espace opaque évite que la lumière directe, non déviée, ne brouille les franges.\nComparaison. Comme le biprisme, ce dispositif utilise toute la lumière de la source et donne des franges plus lumineuses que les fentes d’Young. Il est sensible à la qualité des lentilles : toute aberration déforme les franges.\nVariante. En décalant les demi-lentilles le long de l’axe plutôt que perpendiculairement, on obtient les lentilles de Meslin, dont les franges sont circulaires.\nPour aller plus loin. J.-P. Pérez, Optique : fondements et applications, Dunod ; F. Billet, Traité d’optique physique (1858–1859) ; E. Hecht, Optique, Pearson. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/bilentilles-billet/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Félix Billet décrit ses bilentilles vers 1858, dans son \u003cem\u003eTraité d’optique physique\u003c/em\u003e : une lentille coupée en deux dont on écarte les moitiés fournit deux images réelles d’une même source, dispositif voisin du biprisme de Fresnel.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"1-6-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e1.6.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eUne lentille mince convergente, de focale \u003cmath\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003e𝑓\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/math\u003e, est sciée en deux suivant un diamètre, et les deux demi-lentilles sont écartées de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑒\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e perpendiculairement à l’axe optique. L’espace qui les sépare est rendu opaque, pour qu’aucune lumière directe ne passe. Une source ponctuelle \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e (fente fine) est placée sur l’axe, à la distance \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑝\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e\u003e\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003e𝑓\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e′\u003c/mo\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/math\u003e en avant des lentilles : chaque demi-lentille en donne une image réelle, \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e et \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e, qui sont deux sources secondaires cohérentes.\u003c/p\u003e","title":"Bilentilles de Billet"},{"content":" Note historique. À la fin du XIXe siècle (vers 1896), lord Rayleigh place deux cuves devant les deux fentes d’un montage d’Young et mesure le déplacement des franges quand on change le gaz d’une des cuves. Il s’en sert pour comparer les indices de réfraction de gaz comme l’argon, qu’il découvre avec William Ramsay en 1894. L’appareil, postérieur au Jamin (1856), reste longtemps un instrument de référence pour la réfractométrie des gaz.1.7.1 PrincipeL’interféromètre de Rayleigh (ou réfractomètre interférentiel de Rayleigh) est un montage de fentes d’Young (division du front d’onde) dans lequel deux cuves de même longueur ℓ sont placées devant les deux fentes. Une fente source, éclairée en lumière monochromatique, est placée au foyer d’un collimateur. La double fente découpe deux faisceaux parallèles, qui traversent chacun une cuve ; une lentille forme les franges d’Young dans son plan focal, observées à l’oculaire.\nFig. 8. – Interféromètre de Rayleigh (vue de dessus) : les deux faisceaux issus de la double fente traversent deux cuves, puis interfèrent dans le plan focal de la lentille.Référence. On part de la même substance dans les deux cuves (de l’air, par exemple) : la différence de marche est nulle et la position des franges sert de référence. On remplit ensuite la cuve 2 avec le gaz étudié et l’on observe le décalage des franges. Dans certains appareils de précision, les cuves ne couvrent que la moitié supérieure des fentes : la moitié inférieure, dont la lumière passe dans l’air, donne un second système de franges de référence juste en dessous du premier.\n1.7.2 Décalage des frangesSi l’indice du gaz de la cuve 2 vaut 𝑛2 et celui de la cuve 1 vaut 𝑛1, la différence de marche supplémentaire est 𝛿=(𝑛2−𝑛1)ℓ. L’interfrange des franges d’Young ne change pas : pour des fentes distantes de 𝑎 et une lentille de focale 𝑓, 𝑖=𝜆𝑓/𝑎 (par exemple 𝑖≃59 µm pour 𝑎=5 mm, 𝑓=50 cm et 𝜆=589 nm). Seule la position des franges change : elles se décalent de 𝛿𝑓/𝑎=𝑁𝑖 par rapport à la position de référence.\nInterféromètre de Rayleigh\n𝑁=(𝑛2−𝑛1)ℓ𝜆(14)\nfranges de décalage. Un appareil de paillasse permet de mesurer une variation de chemin optique Δ(𝑛ℓ) de l’ordre de 7 nm, soit Δ𝑛≃10−6 pour une cuve de ℓ=1 cm (Chen et al., 2002). Pour de l’air contre le vide (𝑛−1≃2,9⋅10−4), on obtient 𝑁≃490 franges avec ℓ=1 m.\nFig. 9. – Champ de l’oculaire (schématique) : remplir la cuve 2 avec le gaz étudié décale les franges par rapport à leur position de référence (cuve 2 remplie d’air, tirets).Compensateur. Pour mesurer le décalage, on le compense : des lames de verre à faces parallèles, que l’on incline avec une vis micrométrique, introduisent une différence de marche connue et ramènent les franges à leur position de référence. La lecture sur la vis donne 𝑁.\nLumière blanche. En lumière monochromatique, deux franges voisines sont identiques et l’on ne peut pas compter un décalage de plusieurs franges. En lumière blanche, la frange centrale est la seule frange non colorée : on la repère et on compte les franges qui défilent quand on remplit la cuve.\n1.7.3 Comparaison avec le Jamin et applicationsComme le Jamin, le Rayleigh compare deux gaz côte à côte et mesure des différences d’indice avec une grande précision. Il est plus simple : de simples fentes d’Young remplacent les deux lames épaisses, identiques et soigneusement taillées du Jamin. Les cuves peuvent être longues (jusqu’à un mètre), ce qui augmente la sensibilité.\nApplications. Comparaison des indices de gaz purs et analyse de mélanges gazeux, détection du grisou dans les mines, mesure de concentrations de solutions (cuves courtes). L’optique de Rayleigh sert encore, en biochimie, aux ultracentrifugeuses analytiques, qui mesurent les profils de concentration de macromolécules.\nEn résumé : le Rayleigh est un montage d’Young dont les deux fentes sont suivies de cuves : une différence d’indice 𝑛2−𝑛1 décale les franges de 𝑁=(𝑛2−𝑛1)ℓ/𝜆, mesurée par rapport à la position de référence (cuves identiques) et ramenée à zéro par un compensateur, d’où une sensibilité de l’ordre de 10−6 en indice pour une cuve de 1 cm.Pour aller plus loin. G. L. Squires, Practical Physics, Cambridge University Press ; M. Born et E. Wolf, Principles of Optics, Cambridge University Press ; Y. C. Chen, S. J. Kirkpatrick et S. A. Prahl, Measurement of changes in concentrations of biological solutions using a Rayleigh interferometer (2002). ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/refractometre-rayleigh/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e À la fin du XIXe siècle (vers 1896), lord Rayleigh place deux cuves devant les deux fentes d’un montage d’Young et mesure le déplacement des franges quand on change le gaz d’une des cuves. Il s’en sert pour comparer les indices de réfraction de gaz comme l’argon, qu’il découvre avec William Ramsay en 1894. L’appareil, postérieur au Jamin (1856), reste longtemps un instrument de référence pour la réfractométrie des gaz.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"1-7-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e1.7.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eL’interféromètre de Rayleigh (ou réfractomètre interférentiel de Rayleigh) est un montage de \u003cstrong\u003efentes d’Young\u003c/strong\u003e (division du front d’onde) dans lequel deux cuves de même longueur \u003cmath\u003e\u003cmi\u003eℓ\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e sont placées devant les deux fentes. Une fente source, éclairée en lumière monochromatique, est placée au foyer d’un collimateur. La double fente découpe deux faisceaux parallèles, qui traversent chacun une cuve ; une lentille forme les franges d’Young dans son plan focal, observées à l’oculaire.\u003c/p\u003e","title":"Interféromètre de Rayleigh"},{"content":" Note historique. Robert Hooke observe en 1665, dans sa Micrographia, les couleurs de lames minces et d’anneaux entre deux lentilles. Isaac Newton les étudie systématiquement (Opticks, 1704) et mesure l’épaisseur d’air de chaque anneau. Thomas Young les explique en 1801 par les interférences : le déphasage de 𝜋 à une réflexion rend compte de la tache centrale noire.2.2.1 PrincipeOn éclaire en incidence quasi normale, avec une source monochromatique, une lame d’air d’épaisseur variable 𝑒, comprise entre deux surfaces de verre. Les deux ondes qui interfèrent sont réfléchies sur la face inférieure de la première surface (verre vers air, sans déphasage) et sur la seconde surface (air vers verre, avec un déphasage de 𝜋). La différence de marche vaut donc\n𝛿=2𝑒+𝜆2.(15)\nLes franges sont des lignes d’égale épaisseur, localisées sur la lame d’air. On les observe pour un coin d’air (deux lames planes faisant un petit angle 𝛼) ou entre une lentille plan-convexe de grand rayon de courbure 𝑅 et une lame plane : ce sont les anneaux de Newton.\nFig. 10. – Anneaux de Newton : une lentille plan-convexe est posée sur une lame plane. La lame d’air a l’épaisseur 𝑒(𝑟) à la distance 𝑟 de l’axe (épaisseur très exagérée). À droite, la figure d’interférence vue par réflexion : anneaux sombres centrés sur le point de contact.2.2.2 Coin d’airL’épaisseur est 𝑒=𝛼𝑥 et 𝛿=2𝛼𝑥+𝜆/2. Les franges sombres vérifient 𝛿=(𝑝+1/2)𝜆, soit 𝑒=𝑝𝜆/2 : les franges sont rectilignes, parallèles à l’arête (qui est sombre, car 𝑒=0), et d’interfrange 𝑖=𝜆/(2𝛼).\n2.2.3 Anneaux de NewtonPour 𝑟≪𝑅, l’épaisseur de la lame d’air est 𝑒(𝑟)=𝑅−𝑅2−𝑟2≃𝑟2/(2𝑅), d’où 𝛿=𝑟2/𝑅+𝜆/2. Les anneaux sont centrés sur le point de contact, où 𝑒=0 : la tache centrale est sombre. Les anneaux sombres vérifient 𝛿=(𝑝+1/2)𝜆 et les anneaux brillants 𝛿=𝑝𝜆.\nRayons des anneaux\n𝑟𝑝=𝑝𝜆𝑅(anneaux sombres),𝑟𝑝=(𝑝−1/2)𝜆𝑅(anneaux brillants)(16)\nLes anneaux se resserrent vers l’extérieur (𝑟2 proportionnel à 𝑝). Ordre de grandeur : pour 𝜆=589 nm et 𝑅=1 m, le premier anneau sombre a pour rayon 0,77 mm et le dixième 2,4 mm. En transmission, la figure est complémentaire : la tache centrale est brillante.Fig. 11. – Carré du rayon des anneaux sombres en fonction de leur numéro 𝑝 : on obtient une droite de pente 𝜆𝑅.2.2.4 Mesure du rayon de courbureLe contact réel est déformé et contient de la poussière : le numéro 𝑝 des anneaux est inconnu. On mesure donc les diamètres 𝐷𝑝 et 𝐷𝑝+𝑘 de deux anneaux sombres, séparés de 𝑘 anneaux, et l’on élimine 𝑝 :\n𝑅=𝐷𝑝+𝑘2−𝐷𝑝24𝑘𝜆.(17)\n2.2.5 Lumière blancheEn lumière blanche, chaque longueur d’onde donne ses propres anneaux : les premiers anneaux sont colorés (teintes de Newton), puis les couleurs se mélangent en un blanc d’ordre supérieur, comme dans la lumière blanche du Michelson ou de la bulle de savon.\nEn résumé : la lame d’air est une ligne de niveau : coin d’air = franges droites d’interfrange 𝜆/(2𝛼) ; lentille sur plan = anneaux de rayons 𝑝𝜆𝑅 ; centre sombre en réflexion, 𝛿=2𝑒+𝜆/2.Pour aller plus loin. J.-P. Pérez, Optique : fondements et applications, Dunod ; E. Hecht, Optique, Pearson ; Sextant, Optique expérimentale, Hermann. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/newton/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Robert Hooke observe en 1665, dans sa \u003cem\u003eMicrographia\u003c/em\u003e, les couleurs de lames minces et d’anneaux entre deux lentilles. Isaac Newton les étudie systématiquement (\u003cem\u003eOpticks\u003c/em\u003e, 1704) et mesure l’épaisseur d’air de chaque anneau. Thomas Young les explique en 1801 par les interférences : le déphasage de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜋\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e à une réflexion rend compte de la tache centrale noire.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"2-2-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e2.2.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eOn éclaire en incidence quasi normale, avec une source monochromatique, une lame d’air d’épaisseur variable \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑒\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, comprise entre deux surfaces de verre. Les deux ondes qui interfèrent sont réfléchies sur la face inférieure de la première surface (verre vers air, sans déphasage) et sur la seconde surface (air vers verre, avec un déphasage de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜋\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e). La différence de marche vaut donc\u003c/p\u003e","title":"Coin d’air et anneaux de Newton"},{"content":" Note historique. Robert Boyle (1664) et Robert Hooke (1665) décrivent les couleurs des bulles de savon. Newton (Opticks, 1704) mesure l’épaisseur du film pour chaque teinte, et Young les explique par les interférences en 1801.2.3.1 PrincipeUn film de savon, d’épaisseur 𝑒 et d’indice 𝑛≃1,33, est entouré d’air. Éclairé en lumière blanche, il renvoie deux rayons : l’un réfléchi sur la face avant (air vers film, avec un déphasage de 𝜋), l’autre réfléchi sur la face arrière (film vers air, sans déphasage). Ces deux ondes interfèrent : c’est une division d’amplitude à deux ondes, comme pour la lame d’air des anneaux de Newton, avec un film d’indice 𝑛. Chaque face ne réfléchit que 𝑅=((𝑛−1)/(𝑛+1))2≃2% : les réflexions multiples sont négligeables, ce qui distingue le film d’un Fabry-Pérot (finesse très faible).\nFig. 12. – À gauche, un film de savon vertical : l’épaisseur croît vers le bas et les couleurs défilent (schématique). À droite, les deux rayons réfléchis.2.3.2 Différence de marchePour un rayon d’incidence 𝑖 et de réfraction 𝑟 (sin𝑖=𝑛sin𝑟), la différence de marche géométrique entre les deux rayons réfléchis est 2𝑛𝑒cos𝑟. En ajoutant le 𝜆/2 dû au déphasage de 𝜋 de la première réflexion :\nFilm mince dans l’air\n𝛿=2𝑛𝑒cos𝑟+𝜆2(18)\nMaximum de réflexion si 2𝑛𝑒cos𝑟=(𝑝−1/2)𝜆 ; minimum si 2𝑛𝑒cos𝑟=𝑝𝜆.\nÀ incidence normale, la longueur d’onde du premier ordre (𝑝=1) fortement réfléchie est 𝜆=4𝑛𝑒 : pour 𝑒=100 nm, 𝜆=532 nm, et le film paraît vert. Quand 𝑒 varie, la teinte change :\nÉpaisseur 𝑒𝜆=4𝑛𝑒Couleur réfléchie75 nm399 nmviolet100 nm532 nmvert125 nm665 nmrouge2.3.3 ObservationsFilm noir (en réflexion). Au sommet d’un film vertical, l’eau s’écoule et le film s’amincit jusqu’à 𝑒≪𝜆/(4𝑛)≃100 nm. Le trajet supplémentaire 2𝑛𝑒cos𝑟 devient négligeable et il ne reste que le déphasage de 𝜋 de la face avant : 𝛿≃𝜆/2 pour toutes les longueurs d’onde. Les deux ondes sont en opposition de phase et le film paraît noir. C’est le même effet que la tache centrale sombre des anneaux de Newton.\nVariation avec l’angle. Quand l’incidence augmente, cos𝑟 diminue et la longueur d’onde renforcée aussi : les couleurs se déplacent vers le bleu.\nEn transmission. Les deux ondes qui sortent sont l’onde directe et celle qui a subi deux réflexions internes, sur la face arrière puis sur la face avant : toutes deux vers l’air, donc sans déphasage. La différence de marche est 𝛿𝑡=2𝑛𝑒cos𝑟, sans le 𝜆/2, et la figure est complémentaire de celle de la réflexion : une couleur renforcée en réflexion est éteinte en transmission, et un film très mince (𝑒≪𝜆) est lumineux. Mais la seconde onde a une amplitude 𝑟2≃0,02 fois celle de l’onde directe : le contraste n’est que d’environ 4 %, et l’on ne voit pratiquement pas de couleurs en transmission.\nRemarque. Le même calcul explique les traitements antireflet : une couche d’épaisseur 𝜆/(4𝑛), d’indice inférieur à celui du verre, annule la réflexion à 𝜆.En résumé : un film mince renvoie deux ondes de différence de marche 2𝑛𝑒cos𝑟+𝜆/2 : sa couleur dépend de l’épaisseur et de l’angle, et il paraît noir en réflexion quand 𝑒≪𝜆/(4𝑛). En transmission, la figure est complémentaire mais très peu contrastée.Pour aller plus loin. J.-P. Pérez, Optique : fondements et applications, Dunod ; E. Hecht, Optique, Pearson ; S. Houard, Optique : une approche expérimentale et pratique, De Boeck. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/bulle-savon/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Robert Boyle (1664) et Robert Hooke (1665) décrivent les couleurs des bulles de savon. Newton (\u003cem\u003eOpticks\u003c/em\u003e, 1704) mesure l’épaisseur du film pour chaque teinte, et Young les explique par les interférences en 1801.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"2-3-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e2.3.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eUn film de savon, d’épaisseur \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑒\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e et d’indice \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑛\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e≃\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e1,33\u003c/mtext\u003e\u003c/math\u003e, est entouré d’air. Éclairé en lumière blanche, il renvoie deux rayons : l’un réfléchi sur la face avant (air vers film, avec un déphasage de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜋\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e), l’autre réfléchi sur la face arrière (film vers air, sans déphasage). Ces deux ondes interfèrent : c’est une division d’amplitude à deux ondes, comme pour la lame d’air des anneaux de Newton, avec un film d’indice \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑛\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. Chaque face ne réfléchit que \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑅\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003e𝑛\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003e𝑛\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmo\u003e≃\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003e%\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e : les réflexions multiples sont négligeables, ce qui distingue le film d’un Fabry-Pérot (finesse très faible).\u003c/p\u003e","title":"Bulle de savon"},{"content":" Note historique. Hippolyte Fizeau (1819–1896) mesure la vitesse de la lumière en 1849 avec une roue dentée, puis étudie en 1851, par interférométrie, l’entraînement de la lumière par de l’eau en mouvement. En 1868, il propose de mesurer des diamètres d’étoiles par interférences. Aujourd’hui, l’interféromètre de Fizeau sert surtout à contrôler la planéité de surfaces optiques.2.4.1 PrincipeInterféromètre à division d’amplitude à deux ondes, utilisé pour contrôler des surfaces optiques. Un faisceau parallèle (laser élargi puis collimé) éclaire en incidence normale une lame d’air d’épaisseur 𝑒 très faible, comprise entre un plan de référence partiellement réfléchissant et la surface à tester. Les deux ondes qui interfèrent sont la réflexion sur le plan de référence et celle sur la surface testée ; une séparatrice les envoie vers une caméra.\nFig. 13. – Interféromètre de Fizeau : les réflexions sur le plan de référence (rouge) et sur la surface testée (bleu) interfèrent après leur retour dans le collimateur, puis sont envoyées vers la caméra.2.4.2 Franges d’égale épaisseurLes deux ondes diffèrent par un aller-retour dans la lame d’air : 𝛿=2𝑒(𝑥,𝑦) en incidence normale, à un déphasage constant près dû aux réflexions. Les franges brillantes vérifient 𝑒=𝑝𝜆/2 : chacune est une ligne de niveau de l’épaisseur de la lame d’air, et deux franges voisines correspondent à une variation d’épaisseur de 𝜆/2. Si les deux surfaces sont planes et font un petit angle 𝛼, les franges sont rectilignes et équidistantes, d’interfrange 𝑖=𝜆/(2𝛼). Un défaut de planéité déforme les franges.\nDéfaut de planéité\nΔ𝑒=𝑞𝜆2(19)\noù 𝑞 est l’écart d’une frange à une droite, exprimé en fraction d’interfrange. Ordre de grandeur : avec un laser He-Ne (𝜆=633 nm), une frange déformée de 𝑞=1/5 d’interfrange correspond à un défaut de 63 nm, soit 𝜆/10.\nFig. 14. – Franges d’un Fizeau (schématiques) : le défaut de la surface testée se lit sur la déformation des franges.Intérêt et limites. Les deux ondes ne diffèrent que par la lame d’air, de sorte que l’appareil est peu sensible aux vibrations et à l’air ambiant, contrairement au Twyman-Green à bras séparés. On atteint 𝜆/10 à l’œil, et mieux par décalage de phase en déplaçant légèrement le plan de référence. La mesure est relative à ce plan, qui doit donc être meilleur que la surface testée. Le principe est celui des anneaux de Newton, avec un plan de référence.\nPour aller plus loin. D. Malacara (éd.), Optical Shop Testing, Wiley ; P. Hariharan, Optical Interferometry, Academic Press ; J.-P. Pérez, Optique : fondements et applications, Dunod. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/fizeau/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Hippolyte Fizeau (1819–1896) mesure la vitesse de la lumière en 1849 avec une roue dentée, puis étudie en 1851, par interférométrie, l’entraînement de la lumière par de l’eau en mouvement. En 1868, il propose de mesurer des diamètres d’étoiles par interférences. Aujourd’hui, l’interféromètre de Fizeau sert surtout à contrôler la planéité de surfaces optiques.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"2-4-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e2.4.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eInterféromètre à \u003cstrong\u003edivision d’amplitude\u003c/strong\u003e à deux ondes, utilisé pour contrôler des surfaces optiques. Un faisceau parallèle (laser élargi puis collimé) éclaire en incidence normale une lame d’air d’épaisseur \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑒\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e très faible, comprise entre un plan de référence partiellement réfléchissant et la surface à tester. Les deux ondes qui interfèrent sont la réflexion sur le plan de référence et celle sur la surface testée ; une séparatrice les envoie vers une caméra.\u003c/p\u003e","title":"Interféromètre de Fizeau"},{"content":" Note historique. Jules Jamin (1818–1886) décrit en 1856 cet interféromètre à deux lames de verre épaisses et parallèles, conçu pour mesurer l’indice de réfraction des gaz et des liquides. Il a longtemps été l’instrument de référence de la réfractométrie, avant les montages à faisceaux séparés comme le Mach-Zehnder.2.5.1 PrincipeInterféromètre à division d’amplitude à deux ondes, formé de deux lames de verre identiques 𝑃1 et 𝑃2, épaisses et à faces parallèles, dont la face arrière est argentée. Chaque lame sépare un faisceau en deux par la réflexion sur sa face avant et sur sa face arrière. Sur la première lame, le faisceau 1 se réfléchit sur la face avant et le faisceau 2 sur la face arrière : ils repartent parallèles, écartés d’une distance 𝑑. Sur la seconde lame, le faisceau 2 se réfléchit sur la face avant tandis que le faisceau 1 traverse la lame et se réfléchit sur la face arrière : ils sont de nouveau superposés.\nFig. 15. – Interféromètre de Jamin (épaisseur des lames exagérée). Les deux faisceaux sont séparés entre les lames, ce qui permet d’y placer deux cuves, puis recombinés à la sortie de 𝑃2.2.5.2 Faisceaux écartés et différence de marchePour une lame d’épaisseur 𝑒 et d’indice 𝑛 éclairée sous l’incidence 𝑖, l’angle de réfraction 𝑟 vérifie sin𝑖=𝑛sin𝑟 et les deux faisceaux sont écartés de\n𝑑=2𝑒tan𝑟cos𝑖.(20)\nPour 𝑒=1 cm, 𝑛=1,5 et 𝑖=45°, on trouve 𝑑≃7,6 mm. Les deux chemins sont symétriques : chaque faisceau subit une réflexion sur une face avant, une réflexion sur une face arrière et traverse la même épaisseur de verre. Pour des lames parallèles, 𝛿=0 quelle que soit la longueur d’onde : on peut travailler en lumière blanche, et les deux faisceaux ont la même intensité (quelques pour cent de l’intensité incidente).\nEn inclinant très légèrement la seconde lame, on obtient des franges rectilignes localisées à l’infini, dont l’interfrange se règle avec l’inclinaison.\n2.5.3 RéfractométrieOn place une cuve de longueur ℓ sur chaque faisceau, entre les lames. Si l’indice du gaz de la cuve 2 passe de 1 à 𝑛, la différence de marche vaut 𝛿=(𝑛−1)ℓ.\nRéfractomètre de Jamin\n𝑁=(𝑛−1)ℓ𝜆(21)\nfranges défilent quand on remplit la cuve 2 avec un gaz d’indice 𝑛. Ordre de grandeur : pour de l’air (𝑛−1≃2,9⋅10−4), ℓ=50 cm et 𝜆=589 nm, on trouve 𝑁≃250 franges.\nFig. 16. – Franges du Jamin (schématiques) : remplir la cuve 2 décale tout le système de franges.2.5.4 RemarquesAvantages. Les faisceaux sont largement écartés, donc facilement accessibles pour y placer des cuves, et l’instrument est stable : les deux lames sont solides et travaillent symétriquement.\nLimites. Seule une petite fraction de la lumière arrive à la sortie, et les lames épaisses doivent être identiques et très soigneusement taillées : des défauts d’épaisseur ou de parallélisme déforment les franges.\nEn résumé : le Jamin utilise deux lames épaisses et parallèles pour obtenir deux faisceaux parallèles écartés de 𝑑=2𝑒tan𝑟cos𝑖, puis les recombiner : 𝛿=0 à vide, et 𝑁=(𝑛−1)ℓ/𝜆 franges défilent quand on remplit une cuve.Pour aller plus loin. M. Born et E. Wolf, Principles of Optics, Cambridge University Press ; F. A. Jenkins et H. E. White, Fundamentals of Optics, McGraw-Hill ; J. Jamin, Comptes rendus de l’Académie des sciences (1856). ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/jamin/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Jules Jamin (1818–1886) décrit en 1856 cet interféromètre à deux lames de verre épaisses et parallèles, conçu pour mesurer l’indice de réfraction des gaz et des liquides. Il a longtemps été l’instrument de référence de la réfractométrie, avant les montages à faisceaux séparés comme le Mach-Zehnder.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"2-5-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e2.5.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eInterféromètre à \u003cstrong\u003edivision d’amplitude\u003c/strong\u003e à deux ondes, formé de deux lames de verre identiques \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑃\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e et \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑃\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e, épaisses et à faces parallèles, dont la face arrière est argentée. Chaque lame sépare un faisceau en deux par la réflexion sur sa face avant et sur sa face arrière. Sur la première lame, le faisceau 1 se réfléchit sur la face avant et le faisceau 2 sur la face arrière : ils repartent \u003cstrong\u003eparallèles\u003c/strong\u003e, écartés d’une distance \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑑\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. Sur la seconde lame, le faisceau 2 se réfléchit sur la face avant tandis que le faisceau 1 traverse la lame et se réfléchit sur la face arrière : ils sont de nouveau superposés.\u003c/p\u003e","title":"Interféromètre de Jamin"},{"content":" Note historique. Albert A. Michelson (1852–1931) construit son interféromètre en 1881 pour détecter le mouvement de la Terre par rapport à l’éther ; l’expérience, reprise avec Morley en 1887, donne un résultat nul. Michelson reçoit le prix Nobel de physique en 1907 ; son principe sert encore dans LIGO (ondes gravitationnelles, 2015).2.6.1 PrincipeInterférences par division d’amplitude : une séparatrice semi-réfléchissante divise le faisceau d’une source en deux, qui se réfléchissent sur deux miroirs perpendiculaires 𝑀1 et 𝑀2 puis se recombinent sur la séparatrice et sont observés sur un écran ou à la lunette. Une compensatrice, lame identique à la séparatrice, égalise les épaisseurs de verre traversées par les deux faisceaux : sans elle, la différence de marche dépendrait de la longueur d’onde (indice du verre), ce qui interdirait de travailler en lumière blanche.\nFig. 17. – Interféromètre de Michelson. Vu depuis la séparatrice, le miroir 𝑀2 est équivalent à son image 𝑀2′ par la séparatrice : 𝑀1 et 𝑀2′ forment une lame d’air d’épaisseur 𝑒.2.6.2 Deux réglagesLame d’air (𝑀1 et 𝑀2′ parallèles, distants de 𝑒) : l’interféromètre équivaut à une lame d’air éclairée par une source étendue sous l’incidence 𝑖. La différence de marche entre les deux rayons qui interfèrent est\n𝛿=2𝑒cos𝑖≃2𝑒−𝑒𝑖2,(22)\nà un déphasage constant près dû aux réflexions. Les franges, localisées à l’infini, sont des anneaux d’égale inclinaison ; l’ordre d’interférence 𝑝=𝛿/𝜆 est maximal au centre, 𝑝0=2𝑒/𝜆. Les rayons angulaires vérifient 𝑖𝑘+12−𝑖𝑘2=𝜆/𝑒 : les anneaux se resserrent vers l’extérieur. Quand 𝑒 augmente de 𝜆/2, un anneau naît au centre : compter 𝑁 anneaux qui défilent mesure un déplacement Δ𝑒=𝑁𝜆/2 du miroir.\nCoin d’air (𝑀1 et 𝑀2′ font un petit angle 𝛼) : l’épaisseur varie comme 𝑒(𝑥)=𝛼𝑥 et, en incidence quasi normale, 𝛿≃2𝛼𝑥. Les franges sont rectilignes, parallèles à l’arête du coin, d’égale épaisseur, localisées au voisinage des miroirs, et d’interfrange 𝑖=𝜆/(2𝛼).\nFig. 18. – Figures d’interférences du Michelson (schématiques).Contact optique : pour 𝑒=0, 𝛿=0 pour tous les rayons et l’on observe une teinte plate, point de départ des deux réglages.\n2.6.3 Cohérence temporelle et doublet du sodiumLa source n’étant pas monochromatique, de largeur spectrale Δ𝜆, les anneaux disparaissent quand 𝛿=2𝑒 dépasse la longueur de cohérence 𝐿𝑐=𝜆2/Δ𝜆 : on règle donc le Michelson près du contact optique. En lumière blanche, on ne voit que quelques franges colorées très près du contact optique, ce qui permet de le repérer, la compensatrice garantissant 𝛿=0 pour toutes les longueurs d’onde.\nLe doublet du sodium (𝜆1=589,0 nm et 𝜆2=589,6 nm, de même intensité) donne deux systèmes d’anneaux qui se superposent : le contraste vaut 𝐶=|cos(𝜋𝛿Δ𝜆/𝜆2)| et s’annule (brouillage) chaque fois que 𝛿 augmente de 𝜆2/Δ𝜆, donc chaque fois que 𝑒 augmente de 𝜆2/(2Δ𝜆).\nMesure du doublet du sodium\nΔ𝜆=𝜆22Δ𝑒(23)\noù Δ𝑒 est le déplacement de 𝑀2 entre deux brouillages consécutifs : Δ𝑒≃0,29 mm pour 𝜆=589,3 nm et Δ𝜆=0,6 nm.\n2.6.4 Spectromètre à transformée de FourierEn déplaçant 𝑀2 et en enregistrant l’éclairement au centre, on obtient l’interférogramme\n𝐼(𝛿)=∫𝐵(𝜎)[1+cos(2𝜋𝜎𝛿)]d𝜎,(24)\noù 𝐵(𝜎) est le spectre de la source en nombre d’onde 𝜎=1/𝜆. Une transformée de Fourier redonne 𝐵(𝜎), avec une résolution Δ𝜎≃1/𝛿max.\n2.6.5 Expérience de Michelson-Morley (1887)Si la Terre se déplaçait à la vitesse 𝑣 par rapport à l’éther, le temps aller-retour serait (2𝐿/𝑐)(1+𝑣2/𝑐2) dans le bras parallèle au mouvement et (2𝐿/𝑐)(1+𝑣2/(2𝑐2)) dans le bras perpendiculaire. Une rotation de 90° de l’interféromètre échange les rôles des bras et doit décaler les franges de\nΔ𝑁=2𝐿𝑣2𝜆𝑐2≃0,4,(25)\npour 𝐿≃11 m (bras replié par des réflexions multiples), 𝜆≃550 nm et 𝑣≃30 km/s. Michelson et Morley observent un décalage au plus de quelques centièmes de frange : pas de mouvement détectable par rapport à l’éther.\nFig. 19. – Décalage des franges selon l’orientation de l’appareil, d’après Michelson et Morley (1887). Courbes pleines : observations ; pointillés : un huitième du décalage théorique attendu.Pour aller plus loin. J.-P. Pérez, Optique : fondements et applications, Dunod ; Sextant, Optique expérimentale, Hermann ; A. A. Michelson et E. W. Morley, American Journal of Science 34, 333 (1887). ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/michelson/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Albert A. Michelson (1852–1931) construit son interféromètre en 1881 pour détecter le mouvement de la Terre par rapport à l’éther ; l’expérience, reprise avec Morley en 1887, donne un résultat nul. Michelson reçoit le prix Nobel de physique en 1907 ; son principe sert encore dans LIGO (ondes gravitationnelles, 2015).\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"2-6-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e2.6.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eInterférences par \u003cstrong\u003edivision d’amplitude\u003c/strong\u003e : une séparatrice semi-réfléchissante divise le faisceau d’une source en deux, qui se réfléchissent sur deux miroirs perpendiculaires \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑀\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e et \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑀\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e puis se recombinent sur la séparatrice et sont observés sur un écran ou à la lunette. Une compensatrice, lame identique à la séparatrice, égalise les épaisseurs de verre traversées par les deux faisceaux : sans elle, la différence de marche dépendrait de la longueur d’onde (indice du verre), ce qui interdirait de travailler en lumière blanche.\u003c/p\u003e","title":"Interféromètre de Michelson"},{"content":" Note historique. Ludwig Zehnder (1891) puis Ludwig Mach (1892), fils d’Ernst Mach, proposent ce montage à deux bras séparés, où les faisceaux ne reviennent pas sur eux-mêmes. Il est aujourd’hui très utilisé en optique intégrée (modulateurs) et en optique quantique.2.7.1 PrincipeInterféromètre à division d’amplitude à deux ondes : une première séparatrice 𝑆1 divise le faisceau en deux bras, qui suivent des chemins distincts avant d’être recombinés par une seconde séparatrice 𝑆2. Contrairement au Michelson, chaque faisceau traverse l’appareil une seule fois, sans retour sur lui-même, et la recombinaison donne deux sorties.\nFig. 20. – Interféromètre de Mach-Zehnder : les deux bras sont séparés dans l’espace, ce qui permet de placer un objet dans un seul d’entre eux. Les deux sorties 𝐷1 et 𝐷2 sont complémentaires.2.7.2 Deux sorties complémentairesAvec des séparatrices idéales 50/50, de coefficients 𝑡=1/2 en transmission et 𝑟=𝑗/2 en réflexion, et des phases 𝜑1 et 𝜑2 acquises dans les bras, les amplitudes aux deux sorties sont\n𝐸1=𝐸0𝑟𝑡(𝑒𝑗𝜑1+𝑒𝑗𝜑2),𝐸2=𝐸0(𝑟2𝑒𝑗𝜑1+𝑡2𝑒𝑗𝜑2)=(𝐸02)(𝑒𝑗𝜑2−𝑒𝑗𝜑1).(26)\nAvec Δ𝜑=𝜑2−𝜑1=2𝜋𝛿/𝜆 :\nSorties du Mach-Zehnder\n𝐼1=𝐼02(1+cosΔ𝜑),𝐼2=𝐼02(1−cosΔ𝜑),𝐼1+𝐼2=𝐼0(27)\nL’énergie qui manque sur une sortie apparaît sur l’autre : les deux systèmes de franges sont en opposition.\nFig. 21. – Éclairements des deux sorties en fonction du déphasage : leur somme reste égale à 𝐼0.2.7.3 Pourquoi un Mach-Zehnder plutôt qu’un Michelson ?Fig. 22. – Du Michelson au Mach-Zehnder : en séparant les bras et en ajoutant une seconde séparatrice, on supprime le retour vers la source et on gagne une seconde sortie.CritèreMichelsonMach-ZehnderParcourschaque bras est parcouru deux fois, à l’aller et au retourchaque bras est parcouru une seule foisSortiesune seule utilisable : l’autre retourne vers la sourcedeux sorties accessibles, complémentairesRetour vers la sourceune partie de la lumière revient dans le laser et le perturbeaucune lumière ne revient vers la sourceAccès aux brasbras proches de la séparatrice, faisceaux aller et retour superposésbras séparés : on place un objet dans un seul, traversé une seule foisCompensationcompensatrice nécessaire en lumière blanchechaque faisceau traverse chaque séparatrice une fois : compensation naturelleRéglagesimple, un seul élément semi-réfléchissantplus encombrant, quatre éléments à régler2.7.4 ApplicationsIndice d’un milieu transparent. Avec un objet de longueur 𝐿 dans un bras, Δ𝜑=2𝜋(𝑛−1)𝐿/𝜆 : on compte 𝑁=(𝑛−1)𝐿/𝜆 franges qui défilent. Pour 𝐿=10 cm d’air (𝑛−1≃2,7⋅10−4) et 𝜆=633 nm, on trouve 𝑁≃43 franges quand on vide la cellule. Il sert aussi à visualiser les variations de densité dans les écoulements de gaz et les ondes de choc.\nModulateur optique. En optique intégrée, un déphasage proportionnel à la tension, par effet électro-optique (niobate de lithium), est appliqué dans un bras, et 𝐼=𝐼0cos2(𝜋𝑉/(2𝑉𝜋)) : le Mach-Zehnder module la lumière des fibres optiques de télécommunications.\nOptique quantique. Un photon unique est détecté en 𝐷1 ou en 𝐷2 avec les probabilités cos2(Δ𝜑/2) et sin2(Δ𝜑/2) ; si l’on retire 𝑆2, on connaît le chemin suivi et les franges disparaissent.\nEn résumé : le Mach-Zehnder est un Michelson « déplié » : chaque faisceau passe une fois, et l’on gagne deux sorties complémentaires, l’absence de retour vers la source et un accès séparé à chaque bras.Pour aller plus loin. P. Hariharan, Optical Interferometry, Academic Press ; M. Born et E. Wolf, Principles of Optics, Cambridge University Press ; L. Zehnder, Zeitschrift für Instrumentenkunde (1891). ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/mach-zehnder/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Ludwig Zehnder (1891) puis Ludwig Mach (1892), fils d’Ernst Mach, proposent ce montage à deux bras séparés, où les faisceaux ne reviennent pas sur eux-mêmes. Il est aujourd’hui très utilisé en optique intégrée (modulateurs) et en optique quantique.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"2-7-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e2.7.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eInterféromètre à \u003cstrong\u003edivision d’amplitude\u003c/strong\u003e à deux ondes : une première séparatrice \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e divise le faisceau en deux bras, qui suivent des chemins distincts avant d’être recombinés par une seconde séparatrice \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e. Contrairement au Michelson, chaque faisceau traverse l’appareil une seule fois, sans retour sur lui-même, et la recombinaison donne \u003cstrong\u003edeux sorties\u003c/strong\u003e.\u003c/p\u003e","title":"Interféromètre de Mach-Zehnder"},{"content":" Note historique. Georges Sagnac (1869–1928) réalise en 1913 un interféromètre en anneau monté sur un plateau tournant, dans l’espoir de mettre en évidence l’éther. La relativité rend compte de ses résultats : Max von Laue avait prévu l’effet dès 1911. Michelson et Gale mesurent en 1925 la rotation de la Terre avec un anneau long de plusieurs centaines de mètres. Les gyromètres à laser (années 1960) puis à fibre optique (années 1970) en font aujourd’hui le capteur de rotation des centrales inertielles.2.8.1 PrincipeInterféromètre à division d’amplitude à deux ondes et à chemin commun : la séparatrice divise le faisceau en deux ondes qui parcourent le même circuit fermé (ici trois miroirs) dans des sens opposés, puis se recombinent sur la séparatrice. Les deux ondes traversent les mêmes éléments aux mêmes endroits : tant que le dispositif est immobile, leur différence de marche est nulle pour toutes les longueurs d’onde, sans compensatrice, et les vibrations ou les dérives thermiques lentes agissent de la même façon sur les deux ondes. Seuls des effets non réciproques comme la rotation créent un déphasage.\nFig. 23. – Interféromètre de Sagnac : les ondes 1 et 2 parcourent le même circuit en sens opposés (les deux trajets sont dessinés légèrement décalés). La rotation Ω du dispositif déphase les deux ondes.2.8.2 Effet SagnacConsidérons un circuit circulaire de rayon 𝑅 qui tourne à la vitesse angulaire Ω dans le référentiel du laboratoire. Pendant le trajet de la lumière, la séparatrice 𝐵 s’est déplacée en 𝐵′ : l’onde qui tourne dans le même sens que le dispositif doit parcourir un peu plus d’un tour, l’onde contra-rotative un peu moins.\nFig. 24. – Parcours des deux ondes dans un circuit en rotation : l’onde co-rotative rattrape la séparatrice qui s’éloigne (𝐵→𝐵′), l’onde contra-rotative la rencontre plus tôt (déplacement exagéré).Avec 𝑐𝑡±=2𝜋𝑅±𝑅Ω𝑡±, on obtient 𝑡±=2𝜋𝑅/(𝑐∓𝑅Ω) et, pour 𝑅Ω≪𝑐,\nΔ𝑡=𝑡+−𝑡−=4𝜋𝑅2Ω𝑐2−𝑅2Ω2≃4𝐴Ω𝑐2,(28)\noù 𝐴=𝜋𝑅2 est l’aire du circuit. La différence de marche est 𝛿=𝑐Δ𝑡=4𝐴Ω/𝑐, d’où le déphasage Δ𝜑=2𝜋𝛿/𝜆.\nEffet Sagnac\nΔ𝜑=8𝜋𝐴Ω𝜆𝑐(29)\nLe déphasage est proportionnel à l’aire 𝐴 du circuit et à la vitesse de rotation Ω. Le calcul se généralise à un circuit de forme quelconque (on remplace 𝐴Ω par 𝑨⋅𝛀), indépendamment du centre de rotation et de l’indice du milieu traversé. Pour un circuit à 𝑁 tours, 𝐴 est remplacé par 𝑁𝐴.\nRemarque. Sagnac voyait dans ce déphasage une preuve de l’éther. Ce n’est pas le cas : la relativité restreinte prévoit le même résultat, comme von Laue l’avait montré en 1911.2.8.3 Sorties du dispositifAvec une séparatrice idéale de coefficients 𝑡=1/2 et 𝑟=𝑗/2, l’onde 1 est transmise puis réfléchie, ou transmise deux fois, et l’onde 2 réfléchie puis transmise, ou réfléchie deux fois. Vers le détecteur, les amplitudes sont 𝑡2 et 𝑟2=−𝑡2 : elles sont en opposition de phase. Vers la source, elles valent toutes deux 𝑟𝑡 et s’ajoutent.\nÉclairements du Sagnac\n𝐼𝐷=𝐼0sin2(Δ𝜑2),𝐼𝑆=𝐼0cos2(Δ𝜑2),𝐼𝐷+𝐼𝑆=𝐼0(30)\nÀ l’arrêt (Δ𝜑=0), tout retourne vers la source et le détecteur est sombre, pour toutes les longueurs d’onde : même en lumière blanche, la frange centrale est noire et achromatique.\nPoint de fonctionnement. Au voisinage de Δ𝜑=0, 𝐼𝐷≃𝐼0Δ𝜑2/4 : la réponse est quadratique et la sensibilité nulle. Les gyromètres introduisent un déphasage de biais de ±𝜋/2 (modulateur de phase à une extrémité de la bobine) pour travailler à flanc de frange, où la réponse est linéaire.\n2.8.4 Applications et ordres de grandeurGyromètre à fibre optique. Pour une bobine de longueur 𝐿 et de diamètre 𝐷, 𝑁𝐴=𝐿𝐷/4 et Δ𝜑=2𝜋𝐿𝐷Ω/(𝜆𝑐). Avec 𝐿=1 km, 𝐷=10 cm et 𝜆=1,55𝜇m, on trouve Δ𝜑≃2,4⋅10−2 rad pour Ω=1°/𝑠, et environ 10−4 rad pour la rotation de la Terre (15°/ℎ).\nGyromètre à laser. Dans une cavité laser en anneau, les deux ondes contra-propagatives oscillent à des fréquences légèrement différentes, et le battement vaut Δ𝜈=4𝐴Ω/(𝜆𝑃), où 𝑃 est le périmètre : la mesure d’un déphasage devient une mesure de fréquence.\nNavigation et géophysique. Les gyromètres à fibre et à laser équipent les avions, les sous-marins et les lanceurs (centrales inertielles). Des anneaux laser de plusieurs mètres de côté mesurent les variations de la rotation de la Terre.\nEn résumé : le Sagnac est un interféromètre à chemin commun parcouru en sens opposés : à l’arrêt 𝛿=0 pour toute longueur d’onde (sortie sombre vers le détecteur), et une rotation Ω crée le déphasage Δ𝜑=8𝜋𝐴Ω/(𝜆𝑐), d’où le gyromètre.Pour aller plus loin. G. Sagnac, Comptes rendus de l’Académie des sciences 157, 708 (1913) ; E. J. Post, Reviews of Modern Physics 39, 475 (1967) ; H. C. Lefèvre, The Fiber-Optic Gyroscope, Artech House. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/sagnac/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Georges Sagnac (1869–1928) réalise en 1913 un interféromètre en anneau monté sur un plateau tournant, dans l’espoir de mettre en évidence l’éther. La relativité rend compte de ses résultats : Max von Laue avait prévu l’effet dès 1911. Michelson et Gale mesurent en 1925 la rotation de la Terre avec un anneau long de plusieurs centaines de mètres. Les gyromètres à laser (années 1960) puis à fibre optique (années 1970) en font aujourd’hui le capteur de rotation des centrales inertielles.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"2-8-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e2.8.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eInterféromètre à \u003cstrong\u003edivision d’amplitude\u003c/strong\u003e à deux ondes et à \u003cstrong\u003echemin commun\u003c/strong\u003e : la séparatrice divise le faisceau en deux ondes qui parcourent le \u003cstrong\u003emême circuit fermé\u003c/strong\u003e (ici trois miroirs) dans des sens \u003cstrong\u003eopposés\u003c/strong\u003e, puis se recombinent sur la séparatrice. Les deux ondes traversent les mêmes éléments aux mêmes endroits : tant que le dispositif est immobile, leur différence de marche est nulle \u003cstrong\u003epour toutes les longueurs d’onde\u003c/strong\u003e, sans compensatrice, et les vibrations ou les dérives thermiques lentes agissent de la même façon sur les deux ondes. Seuls des effets \u003cstrong\u003enon réciproques\u003c/strong\u003e comme la rotation créent un déphasage.\u003c/p\u003e","title":"Interféromètre de Sagnac"},{"content":" Note historique. Frank Twyman et Alfred Green brevettent en 1916 cette variante du Michelson, destinée à contrôler la qualité des prismes et des lentilles. Elle reste à la base des interféromètres de contrôle optique utilisés aujourd’hui pour les miroirs et les objectifs.2.9.1 PrincipeLe Twyman-Green est un Michelson éclairé par une onde plane : une source ponctuelle (usuellement laser) placée au foyer d’un collimateur remplace la source étendue. Chaque bras renvoie un front d’onde plan, et une lentille de projection forme sur la caméra l’image de la surface à tester. On ne cherche plus la différence de marche en fonction de l’inclinaison des rayons, comme dans le Michelson réglé en lame d’air, mais en fonction du point (𝑥,𝑦) de la surface : l’interférogramme est une carte de l’écart entre les deux fronts d’onde.\nFig. 25. – Interféromètre de Twyman-Green : un front d’onde plan est divisé, puis recombiné après réflexion sur le miroir de référence 𝑀1 et sur la surface à tester.2.9.2 Interférogramme d’une surfaceSi la surface testée s’écarte d’une hauteur ℎ(𝑥,𝑦) du plan idéal, la différence de marche entre les deux bras est, à une inclinaison près,\n𝛿(𝑥,𝑦)=2ℎ(𝑥,𝑦).(31)\nDéfaut de surface\n𝛿=2ℎ=𝑝𝜆⟹ℎ=𝑝𝜆2(32)\nChaque frange est une ligne de niveau de la surface, et deux franges voisines correspondent à une différence de hauteur de 𝜆/2. Avec un laser He-Ne (𝜆=632,8 nm), 𝜆/2=316,4 nm. Un défaut de 𝜆/10 déplace les franges de 2ℎ/𝜆=0,2 interfrange.\nFig. 26. – Interférogrammes (schématiques) : un miroir plan incliné donne des franges droites, une bosse locale les déforme, une surface sphérique donne des anneaux.Remarque. La déviation des rayons est négligeable. Une pente locale 𝜃 de la surface dévie le rayon réfléchi de 2𝜃. Pour un pic de 𝑁 franges, soit une hauteur ℎ=𝑁𝜆/2, et de demi-largeur 𝑤, on a 2𝜃≃2ℎ/𝑤=𝑁𝜆/𝑤. Avec 𝑁=2 (ℎ=𝜆=600 nm) et 𝑤=0,5 mm, on trouve 2𝜃≃2,4 mrad, soit un décalage de 0,7 mm au retour d’un bras de 30 cm : bien inférieur à la taille du faisceau. Le faisceau revient donc sur la caméra comme celui d’un plan, et l’interférogramme ne dépend que de la différence de marche 𝛿=2ℎ. La méthode échoue seulement pour les pentes très fortes (au-delà de quelques mrad) : les franges deviennent plus serrées que les pixels de la caméra.Lentilles et prismes. Pour tester une lentille, on la place dans le bras de mesure devant un miroir de renvoi qui la fait traverser deux fois : les aberrations déforment les franges (anneaux non équidistants pour l’aberration sphérique) et la mesure d’un écart à la sphère idéale remplace celle d’une hauteur.\n2.9.3 Mesure par décalage de phaseAujourd’hui, le miroir de référence est monté sur une cale piézoélectrique qui le déplace de 𝜆/8 entre quatre images successives, ce qui décale la phase de 𝜋/2 à chaque fois. Avec 𝐼𝑘=𝐼0[1+𝛾cos(𝜑+(𝑘−1)𝜋/2)], on retrouve en chaque pixel\n𝜑=arctan(𝐼4−𝐼2𝐼1−𝐼3),ℎ=𝜑𝜆4𝜋,(33)\nce qui donne la forme de la surface avec une précision de l’ordre de 𝜆/100.\nRemarque. Comparaison avec le Shack-Hartmann. Un analyseur de Shack-Hartmann mesure aussi la forme d’un front d’onde 𝑊(𝑥,𝑦), mais par optique géométrique et sans interférence : un réseau de microlentilles de focale 𝑓ℓ forme une grille de points sur une caméra, et le déplacement d’un point, Δ𝑥=𝑓ℓ𝜕𝑊/𝜕𝑥, donne la pente locale du front d’onde, qu’il faut ensuite intégrer. Il n’exige ni référence ni lumière cohérente et supporte de fortes aberrations, mais il est moins précis que le Twyman-Green, qui mesure directement la phase. Les deux méthodes sont complémentaires.2.9.4 Comparaison avec le MichelsonCritèreMichelsonTwyman-GreenSourceétendue (lampe)ponctuelle et collimatée (laser)Éclairagefaisceaux de directions variéesonde planeFrangesanneaux d’égale inclinaison (lame d’air) ou franges d’égale épaisseur (coin d’air)lignes de niveau de la surface testéeUsagemesure de longueurs d’onde et de déplacements, spectrométriecontrôle de surfaces et d’optiquesEn résumé : le Twyman-Green est un Michelson éclairé en onde plane : l’interférogramme cartographie 𝛿=2ℎ(𝑥,𝑦), une frange correspond à une hauteur de 𝜆/2, et le décalage de phase donne la forme d’une surface à mieux que 𝜆/100.Pour aller plus loin. D. Malacara (éd.), Optical Shop Testing, Wiley ; P. Hariharan, Optical Interferometry, Academic Press. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/twyman-green/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Frank Twyman et Alfred Green brevettent en 1916 cette variante du Michelson, destinée à contrôler la qualité des prismes et des lentilles. Elle reste à la base des interféromètres de contrôle optique utilisés aujourd’hui pour les miroirs et les objectifs.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"2-9-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e2.9.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eLe Twyman-Green est un Michelson éclairé par une \u003cstrong\u003eonde plane\u003c/strong\u003e : une source ponctuelle (usuellement laser) placée au foyer d’un collimateur remplace la source étendue. Chaque bras renvoie un front d’onde plan, et une lentille de projection forme sur la caméra l’image de la surface à tester. On ne cherche plus la différence de marche en fonction de l’inclinaison des rayons, comme dans le Michelson réglé en lame d’air, mais en fonction du \u003cstrong\u003epoint \u003cmath\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003e𝑥\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝑦\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e\u003c/strong\u003e de la surface : l’interférogramme est une carte de l’écart entre les deux fronts d’onde.\u003c/p\u003e","title":"Variante du Michelson : Twyman-Green"},{"content":" Note historique. Le premier réseau est dû à David Rittenhouse (1785), qui tend des cheveux entre deux vis. Joseph Fraunhofer réalise en 1821 des réseaux de fils fins et mesure avec eux les longueurs d’onde des raies solaires. Dans les années 1880, Henry Rowland grave des réseaux d’une qualité inégalée et invente le réseau concave.3.2.1 PrincipeUn réseau est formé de 𝑁 fentes (ou traits) identiques, équidistantes du pas 𝑎, éclairées par une onde plane. Chaque fente diffracte la lumière et joue le rôle d’une source secondaire : c’est une division du front d’onde en 𝑁 ondes. À l’infini, dans la direction 𝜃 pour une incidence 𝜃𝑖, deux fentes voisines diffèrent en marche de 𝛿=𝑎(sin𝜃−sin𝜃𝑖), soit en phase de 𝜑=2𝜋𝛿/𝜆. Les 𝑁 ondes sont en phase quand 𝛿=𝑝𝜆, avec 𝑝 entier.\nFig. 27. – Réseau éclairé par une onde plane : les ordres 𝑝=0,±1 sont focalisés par une lentille. À droite, la différence de marche 𝛿=𝑎sin𝜃 entre deux fentes voisines (angle exagéré).Formule des réseaux\n𝑎(sin𝜃𝑝−sin𝜃𝑖)=𝑝𝜆(34)\nLe nombre d’ordres est limité par |sin𝜃𝑝|≤1. Ordre de grandeur : un réseau de 600 traits/mm (𝑎=1,67 µm), éclairé à incidence normale par la raie du sodium (𝜆=589 nm), diffracte à 𝜃1=20,7° et possède les ordres 𝑝=−2 à +2.\n3.2.2 Intensité diffractéeLa somme des 𝑁 ondes, de même amplitude et déphasées de 𝜑 de fente en fente, est une série géométrique ∑𝑘=0𝑁−1𝑒𝑗𝑘𝜑=(1−𝑒𝑗𝑁𝜑)/(1−𝑒𝑗𝜑), d’où l’éclairement, avec 𝐼1 celui d’une seule fente :\n𝐼=𝐼1(sin(𝑁𝜑/2)sin(𝜑/2))2.(35)\nLes maxima principaux, de valeur 𝑁2𝐼1, sont aux ordres 𝜑=2𝜋𝑝. Entre deux d’entre eux, il y a 𝑁−1 zéros et 𝑁−2 maxima secondaires faibles. Le premier zéro suivant un maximum est à 𝑁𝜑/2=𝜋, d’où une largeur angulaire Δ𝜃≃𝜆/(𝑁𝑎cos𝜃) : plus 𝑁 est grand, plus les pics sont fins.\nFig. 28. – Intensité diffractée par 𝑁 fentes, normalisée : les pics se resserrent quand 𝑁 augmente.3.2.3 Dispersion et pouvoir de résolutionLa dispersion angulaire vaut 𝑑𝜃/𝑑𝜆=𝑝/(𝑎cos𝜃). Deux longueurs d’onde 𝜆 et 𝜆+𝛿𝜆 sont séparées (critère de Rayleigh) quand le maximum de l’une tombe sur le premier zéro de l’autre, soit (𝑑𝜃/𝑑𝜆)𝛿𝜆=𝜆/(𝑁𝑎cos𝜃).\nPouvoir de résolution\n𝜆𝛿𝜆=𝑝𝑁(36)\nPour le doublet du sodium, 𝜆/𝛿𝜆≃1000 : au premier ordre, 𝑁=1000 traits, soit 0,6 mm de réseau à 600 traits/mm, suffisent. Un réseau de 25 mm contient 𝑁=15000 traits : 𝜆/𝛿𝜆=1,5⋅104.\n3.2.4 Limite de tailleAvec 𝐿=𝑁𝑎 la largeur éclairée, 𝑝𝑁=𝐿(sin𝜃−sin𝜃𝑖)/𝜆≤2𝐿/𝜆 : la résolution ne dépend que de la taille du réseau, pas de son pas. Pour 𝐿=10 cm et 𝜆=500 nm, 𝜆/𝛿𝜆≤4⋅105. Au-delà, il faudrait un réseau plus grand, très difficile à graver, ou des mosaïques de réseaux. Un Fabry-Pérot de 5 mm d’épaisseur atteint déjà 6⋅105 : pour les très hautes résolutions, les interféromètres prennent le relais.\n3.2.5 Types de réseauxTypePrincipeUsageTransmissionfentes ou traits opaques sur une lame de verretravaux pratiques, 100 à 1000 traits/mmGravé, en réflexiontraits gravés au diamant sur une surface métalliséespectromètres, monochromateursBlazétraits en dents de scie qui concentrent la lumière dans un ordrerendement jusqu’à 80 %Holographiquefranges de deux faisceaux laser enregistrées dans une résinepeu de lumière parasite, ultravioletÉchellegrand pas, ordres élevés (𝑝∼10 à 100)très haute résolution en astronomiePrix. Un réseau de laboratoire de 25 mm × 25 mm, à 600 traits/mm, coûte environ 100 à 200 € ; il est copié à partir d’un réseau maître, bien plus cher à graver. Les lames de réseau en plastique pour les travaux pratiques ne coûtent que quelques euros.\n3.2.6 Réseaux dans la vie couranteLes pistes d’un CD (pas 1,6 µm), d’un DVD (0,74 µm) et d’un Blu-ray (0,32 µm) forment un réseau en réflexion : les irisations de leur tranche en sont la signature. À incidence normale, 𝑎=𝜆/sin𝜃1. Avec un laser de 633 nm, un CD diffracte à 𝜃1≃23° et un DVD à 59°, ce qui permet de mesurer leur pas avec un pointeur laser. Pour le Blu-ray, 𝑎 est inférieur à 𝜆 : il ne diffracte pas la lumière visible. Les plumes et les ailes de papillon donnent des irisations de même nature.\n3.2.7 Du réseau au cristalUn cristal est un réseau à trois dimensions : des plans atomiques, espacés de 𝑑, réfléchissent partiellement les rayons X, et les ondes réfléchies sont en phase si\n2𝑑sin𝜃=𝑝𝜆(loi de Bragg).(37)\nMax von Laue observe la diffraction des rayons X par un cristal en 1912, puis W. H. et W. L. Bragg en déduisent la structure de cristaux (1913). Il faut 𝜆≲2𝑑, soit des rayons X pour 𝑑 de l’ordre de 0,1 à 0,3 nm.\nPour aller plus loin. J.-P. Pérez, Optique : fondements et applications, Dunod ; E. Hecht, Optique, Pearson ; C. Palmer et E. Loewen, Diffraction Grating Handbook, Newport. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/reseau/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Le premier réseau est dû à David Rittenhouse (1785), qui tend des cheveux entre deux vis. Joseph Fraunhofer réalise en 1821 des réseaux de fils fins et mesure avec eux les longueurs d’onde des raies solaires. Dans les années 1880, Henry Rowland grave des réseaux d’une qualité inégalée et invente le réseau concave.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"3-2-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e3.2.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eUn réseau est formé de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑁\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e fentes (ou traits) identiques, équidistantes du pas \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑎\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, éclairées par une onde plane. Chaque fente diffracte la lumière et joue le rôle d’une source secondaire : c’est une division du front d’onde en \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑁\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e ondes. À l’infini, dans la direction \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜃\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e pour une incidence \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝜃\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑖\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e, deux fentes voisines diffèrent en marche de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝛿\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝑎\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmtext\u003esin\u003c/mtext\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmspace width=\"0.16666666666666666em\"/\u003e\u003cmi\u003e𝜃\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmtext\u003esin\u003c/mtext\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmspace width=\"0.16666666666666666em\"/\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝜃\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑖\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e, soit en phase de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜑\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003e𝜋\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝛿\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝜆\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. Les \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑁\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e ondes sont en phase quand \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝛿\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝑝\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝜆\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, avec \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑝\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e entier.\u003c/p\u003e","title":"Réseau de diffraction (division du front d’onde)"},{"content":" Note historique. Charles Fabry (1867–1945) et Alfred Pérot (1863–1925) présentent leur interféromètre dès 1897 (description détaillée en 1899), à Marseille. Il sert à la spectroscopie de haute résolution et à la mesure du mètre en longueurs d’onde ; Fabry et Buisson l’utilisent en 1913 pour mettre en évidence la couche d’ozone.3.3.1 PrincipeInterféromètre à division d’amplitude à ondes multiples : deux lames à faces parallèles, partiellement réfléchissantes (coefficient de réflexion en intensité 𝑅, de transmission 𝑇=1−𝑅, absorption négligeable), séparées par une lame d’air d’épaisseur 𝑒 et d’indice 𝑛. Un rayon incident donne une infinité de rayons transmis parallèles, d’amplitudes en progression géométrique décroissante, qui interfèrent à l’infini ou dans le plan focal d’une lentille. Le Michelson superpose deux ondes, le Fabry-Pérot en superpose un grand nombre : les franges sont beaucoup plus fines.\nFig. 29. – Fabry-Pérot : un rayon incident, d’angle 𝜃, donne des rayons réfléchis et transmis d’amplitudes décroissantes. Les rayons transmis interfèrent dans le plan focal de la lentille et forment des anneaux (angle d’incidence très exagéré).3.3.2 Intensité transmise : fonction d’AiryDeux rayons transmis successifs sont déphasés de 𝜑=4𝜋𝑛𝑒cos𝜃/𝜆. Avec 𝑟2=𝑅 et 𝑡2=𝑇 les coefficients en amplitude, le rayon 𝑘 a l’amplitude 𝐸0𝑡2𝑟2𝑘 et la phase 𝑘𝜑 : l’amplitude transmise est la somme d’une série géométrique de raison 𝑅𝑒𝑗𝜑,\n𝐸¯𝑡=𝐸0𝑇(1+𝑅𝑒𝑗𝜑+𝑅2𝑒2𝑗𝜑+⋯)=𝐸0𝑇1−𝑅𝑒𝑗𝜑.(38)\nL’éclairement transmis s’en déduit, avec 𝑇=1−𝑅 :\n𝐼𝑡𝐼0=𝑇2(1−𝑅𝑒𝑗𝜑)(1−𝑅𝑒−𝑗𝜑)=𝑇2(1−𝑅)2+4𝑅sin2(𝜑/2).(39)\nFonction d’Airy\n𝐼𝑡𝐼0=11+𝑚sin2(𝜑/2),𝑚=4𝑅(1−𝑅)2(40)\nLa transmission vaut 1 pour 𝜑=2𝜋𝑝, c’est-à-dire 2𝑛𝑒cos𝜃=𝑝𝜆 : la lame transmet toute la lumière aux résonances, quel que soit 𝑅, et presque rien entre elles pour 𝑅 voisin de 1.\nFig. 30. – Fonction d’Airy pour trois valeurs de 𝑅 : plus 𝑅 est grand, plus les pics sont fins (finesse 𝐹 croissante).3.3.3 FinesseAutour d’un maximum, l’éclairement tombe à la moitié pour 𝑚sin2(𝜑/2)=1, soit 𝜑=2𝜋𝑝±2/𝑚. La largeur à mi-hauteur vaut donc Δ𝜑=4/𝑚=2(1−𝑅)/𝑅, et on définit la finesse comme le nombre de pics que l’on peut loger dans un ordre :\n𝐹=2𝜋Δ𝜑=𝜋𝑅1−𝑅.(41)\n3.3.4 Intervalle spectral libre et résolutionÀ incidence normale, 𝜑=4𝜋𝑛𝑒𝜈/𝑐 : les pics sont espacés, en fréquence, de l’intervalle spectral libre Δ𝜈ISL=𝑐/(2𝑛𝑒), soit Δ𝜆=𝜆2/(2𝑛𝑒) en longueur d’onde. Chaque pic a la largeur 𝛿𝜈=Δ𝜈ISL/𝐹. Deux raies sont séparées si leur écart dépasse 𝛿𝜈 ; pour que les ordres ne se recouvrent pas, le spectre étudié doit en outre être plus étroit que Δ𝜈ISL.\nPouvoir de résolution\n𝜆𝛿𝜆=𝑝𝐹,𝑝=2𝑛𝑒𝜆(42)\nOrdre de grandeur : 𝑅=0,9, 𝑒=5 mm, 𝑛=1 et 𝜆=500 nm donnent 𝐹≃30, un intervalle spectral libre de 30 GHz (0,025 nm), des pics de 1 GHz, un ordre 𝑝=2⋅104 et un pouvoir de résolution de 6⋅105.\n3.3.5 Anneaux et applicationsAvec une source étendue et une lentille, on observe dans le plan focal des anneaux d’égale inclinaison, comme pour la lame d’air du Michelson, mais fins et brillants sur fond sombre quand 𝑅 est grand, au lieu de franges sinusoïdales. Si l’on fixe 𝑒 (étalon), on obtient un filtre ou une référence de fréquence ; si l’on fait varier 𝑒 ou 𝑛, on balaie le spectre. Le Fabry-Pérot sert en spectroscopie de haute résolution (structures fine et hyperfine), de cavité résonnante pour les lasers, et de bras dans les interféromètres de LIGO.\nPour aller plus loin. J.-P. Pérez, Optique : fondements et applications, Dunod ; Ch. Fabry et A. Pérot, Annales de chimie et de physique (1899) ; P. Hariharan, Optical Interferometry, Academic Press. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/fabry-perot/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Charles Fabry (1867–1945) et Alfred Pérot (1863–1925) présentent leur interféromètre dès 1897 (description détaillée en 1899), à Marseille. Il sert à la spectroscopie de haute résolution et à la mesure du mètre en longueurs d’onde ; Fabry et Buisson l’utilisent en 1913 pour mettre en évidence la couche d’ozone.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"3-3-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e3.3.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eInterféromètre à \u003cstrong\u003edivision d’amplitude à ondes multiples\u003c/strong\u003e : deux lames à faces parallèles, partiellement réfléchissantes (coefficient de réflexion en intensité \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑅\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, de transmission \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑇\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝑅\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, absorption négligeable), séparées par une lame d’air d’épaisseur \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑒\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e et d’indice \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑛\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. Un rayon incident donne une infinité de rayons transmis parallèles, d’amplitudes en progression géométrique décroissante, qui interfèrent à l’infini ou dans le plan focal d’une lentille. Le Michelson superpose deux ondes, le Fabry-Pérot en superpose un grand nombre : les franges sont beaucoup plus fines.\u003c/p\u003e","title":"Interféromètre de Fabry-Pérot"},{"content":" Note historique. Premiers filtres interférentiels à couches minces à la fin des années 1930 (Geffcken, 1939) ; les miroirs multicouches diélectriques, développés ensuite, donnent des bandes de l’ordre du nanomètre.3.4.1 PrincipeUn filtre interférométrique est un Fabry-Pérot à couches minces : les deux « lames » sont des miroirs de Bragg, empilements de couches diélectriques d’indices alternés et séparées par une couche d’épaisseur 𝑒, l’espaceur. Il ne transmet qu’une bande étroite autour de 𝜆0, avec 2𝑛𝑒=𝑝𝜆0 et un ordre 𝑝 petit (1 ou 2).\nFig. 31. – Filtre interférométrique : espaceur demi-onde entre deux miroirs de Bragg à couches quart d’onde (échelle non respectée).3.4.2 Miroirs de BraggChaque couche a une épaisseur optique 𝜆0/4 : un aller-retour ajoute une différence de marche 𝜆0/2, soit un déphasage de 𝜋. Le coefficient de réflexion change de signe d’une interface à la suivante, ce qui ajoute un second déphasage de 𝜋 : toutes les ondes réfléchies sont en phase. Le coefficient de réflexion 𝑅 tend vers 1 avec le nombre 𝑁 de paires, sur une zone de largeur relative\nΔ𝜆𝐵𝜆0=4𝜋arcsin(𝑛𝐻−𝑛𝐿𝑛𝐻+𝑛𝐿),(43)\nsoit environ 29% pour 𝑛𝐻=2,3 (TiO2) et 𝑛𝐿=1,46 (SiO2).\n3.4.3 Bande passanteL’espaceur est une cavité de Fabry-Pérot : on retrouve la fonction d’Airy, avec des miroirs de réflectance 𝑅 très proche de 1. La bande transmise a pour largeur 𝛿𝜆=𝜆0/(𝑝𝐹), où 𝐹=𝜋𝑅/(1−𝑅) est la finesse. Comme 𝑝 est petit, l’intervalle spectral libre 𝜆0/𝑝 est immense : une seule bande dans le visible.\nLargeur de la bande passante\n𝛿𝜆=𝜆0𝑝𝐹,𝐹=𝜋𝑅1−𝑅(44)\nOrdre de grandeur : 𝑅=0,99 donne 𝐹≃310 ; avec 𝑝=1 et 𝜆0=550 nm, la bande passante vaut 𝛿𝜆≃1,8 nm.\n3.4.4 Incidence obliqueLa condition de transmission devient 2𝑛𝑒cos𝜃′=𝑝𝜆, où 𝜃′ est l’angle de réfraction dans l’espaceur. La longueur d’onde transmise diminue donc quand on incline le filtre :\n𝜆0(𝜃)≃𝜆0(1−sin2𝜃2𝑛2).(45)\nPour 𝑛=2 et 𝜃=10°, le décalage vaut environ −2 nm, comparable à la bande passante : on peut accorder le filtre en l’inclinant.\nEn résumé : Fabry-Pérot à miroirs de Bragg et à espaceur très mince, de bande passante de quelques nanomètres, pour isoler une raie ou séparer des canaux.Pour aller plus loin. H. A. Macleod, Thin-Film Optical Filters, CRC Press ; M. Born et E. Wolf, Principles of Optics, Cambridge University Press. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/filtre-interferometrique/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Premiers filtres interférentiels à couches minces à la fin des années 1930 (Geffcken, 1939) ; les miroirs multicouches diélectriques, développés ensuite, donnent des bandes de l’ordre du nanomètre.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"3-4-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e3.4.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eUn filtre interférométrique est un Fabry-Pérot à couches minces : les deux « lames » sont des \u003cstrong\u003emiroirs de Bragg\u003c/strong\u003e, empilements de couches diélectriques d’indices alternés et séparées par une couche d’épaisseur \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑒\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, l’espaceur. Il ne transmet qu’une bande étroite autour de \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝜆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e, avec \u003cmath\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003e𝑛\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑒\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝑝\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝜆\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e et un ordre \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑝\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e petit (1 ou 2).\u003c/p\u003e","title":"Filtre interférométrique"},{"content":" Note historique. Albert Michelson décrit en 1898 son échelon : une pile de lames de verre de même épaisseur, décalées en escalier, qui disperse la lumière avec un pouvoir de résolution très élevé et sert à étudier la structure fine des raies spectrales.3.7.1 PrincipeL’échelon de Michelson est un réseau par transmission dont les « traits » sont des marches de verre. On empile 𝑁 lames de verre identiques d’épaisseur 𝑡 (de l’ordre du centimètre), chacune décalée de 𝑠 (de l’ordre du millimètre) par rapport à la précédente. Une onde plane qui traverse l’ensemble est divisée en 𝑁 ondes par les marches, comme pour un réseau, mais deux marches voisines diffèrent du chemin (𝑛−1)𝑡 dans le verre.\nFig. 32. – Échelon de Michelson (5 lames dessinées, de nombreuses lames en pratique) : à la hauteur de la 𝑗-ième marche, le rayon traverse 𝑗 lames, soit 𝑗𝑡 de verre.3.7.2 Maxima de l’éclairementPour une onde diffractée dans la direction 𝜃, comptée positivement du côté des marches les moins épaisses, la différence de marche entre deux marches voisines est\nΔ=(𝑛−1)𝑡+𝑠sin𝜃.(46)\nLes maxima sont aux angles tels que Δ=𝑝𝜆. Comme (𝑛−1)𝑡 est très grand devant 𝜆, l’ordre 𝑝 est énorme : pour 𝑡=1 cm, 𝑛=1,5 et 𝜆=500 nm, 𝑝≃(𝑛−1)𝑡/𝜆=104.\nL’éclairement est celui d’un réseau de 𝑁 fentes, multiplié par l’enveloppe de diffraction d’une marche de largeur 𝑠 :\n𝐼=𝐼1(sin(𝜋𝑠𝜃/𝜆)𝜋𝑠𝜃/𝜆)2(sin(𝑁𝜋Δ/𝜆)𝑁sin(𝜋Δ/𝜆))2.(47)\nL’enveloppe a la même largeur angulaire 𝜆/𝑠 que l’écart entre deux ordres consécutifs : la lumière se concentre sur un ou deux ordres seulement.\nFig. 33. – Éclairement de l’échelon en fonction de 𝜃𝑠/𝜆 (ici 𝑁=10) : seuls quelques ordres tombent sous l’enveloppe de diffraction.3.7.3 Pouvoir de résolution et intervalle spectral libreAu voisinage de 𝜃=0, 𝑝 varie comme (𝑛−1)𝑡/𝜆, d’où la dispersion 𝑑𝜃/𝑑𝜆≃𝑝/𝑠 et un pouvoir de résolution comme pour tout réseau : 𝜆/𝛿𝜆=𝑝𝑁. Les ordres sont très proches en longueur d’onde, d’où un intervalle spectral libre très petit :\nÉchelon de Michelson\n𝜆𝛿𝜆=𝑝𝑁≃𝑁(𝑛−1)𝑡𝜆,Δ𝜆ISL≃𝜆2(𝑛−1)𝑡(48)\nPour 𝑁=20, 𝑡=1 cm, 𝑛=1,5 et 𝜆=500 nm : 𝜆/𝛿𝜆≃2⋅105, soit 𝛿𝜆≃2,5 pm, et Δ𝜆ISL≃0,05 nm. À 𝑠=1 mm, la dispersion vaut environ 10 mrad/nm.\nPour être exact, 𝑛 doit être remplacé par l’indice de groupe, ce qui change ces valeurs d’environ 10 %. L’ordre de grandeur est suffisant ici.\nExemple : effet Zeeman. Dans un champ de 1 T, les composantes d’une raie du visible à 500 nm sont écartées de Δ𝜈≃14 GHz, soit Δ𝜆=𝜆2Δ𝜈/𝑐≃0,012 nm. C’est bien plus que 𝛿𝜆 et moins que Δ𝜆ISL : l’échelon sépare ces composantes sans recouvrement d’ordres.\n3.7.4 Comparaison avec le réseau et le Fabry-PerotInstrumentOrdre 𝑝Pouvoir de résolutionIntervalle spectral libreRéseau (25 mm, 600 traits/mm)∼11,5⋅104toute la gamme visibleÉchelon (𝑁=20, 𝑡=1 cm)∼104∼2⋅105∼0,05 nmFabry-Perot (𝑒=5 mm, finesse 30)∼2⋅104∼6⋅105∼0,025 nmL’échelon comble l’écart entre les réseaux, très peu résolus mais d’intervalle spectral libre immense, et les Fabry-Perot, très résolus. Comme son intervalle spectral libre est étroit, on le fait précéder d’un monochromateur (prisme, réseau) qui sélectionne une petite plage de longueurs d’onde. Sa version en réflexion donne le réseau échelle, utilisé en astronomie.\nLimites. Les lames doivent être identiques et très soigneusement taillées en épaisseur, et l’échelon ne fonctionne que sur une plage étroite de longueurs d’onde : il a été largement remplacé par le Fabry-Perot, plus simple à régler.\nEn résumé : l’échelon de Michelson est un réseau en escalier dont deux marches voisines diffèrent de (𝑛−1)𝑡 : à ordre énorme (𝑝∼104) et à 𝑁 marches, il atteint 𝜆/𝛿𝜆=𝑝𝑁∼2⋅105 avec un intervalle spectral libre de l’ordre de 0,05 nm, ce qui le réserve à l’étude de structures fines de raies isolées.Pour aller plus loin. A. A. Michelson, Astrophysical Journal 8, 37 (1898) ; P. Hariharan, Optical Interferometry, Academic Press. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/echelon-michelson/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Albert Michelson décrit en 1898 son échelon : une pile de lames de verre de même épaisseur, décalées en escalier, qui disperse la lumière avec un pouvoir de résolution très élevé et sert à étudier la structure fine des raies spectrales.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"3-7-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e3.7.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eL’échelon de Michelson est un \u003cstrong\u003eréseau par transmission\u003c/strong\u003e dont les « traits » sont des marches de verre. On empile \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑁\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e lames de verre identiques d’épaisseur \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑡\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e (de l’ordre du centimètre), chacune décalée de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑠\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e (de l’ordre du millimètre) par rapport à la précédente. Une onde plane qui traverse l’ensemble est divisée en \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑁\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e ondes par les marches, comme pour un réseau, mais deux marches voisines diffèrent du chemin \u003cmath\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003e𝑛\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmi\u003e𝑡\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e dans le verre.\u003c/p\u003e","title":"Échelon de Michelson"},{"content":" Note historique. L’hypothèse de de Broglie est confirmée en 1927 par la diffraction d’électrons sur un cristal de nickel (Davisson et Germer). Claus Jönsson réalise en 1961 la première expérience de fentes d’Young avec des électrons. Merli, Missiroli et Pozzi (1974) puis Tonomura et ses collègues (1989) observent les franges se construire électron par électron. Zeilinger et ses collègues réalisent l’expérience avec des neutrons en 1988, Arndt et ses collègues avec des molécules de C60 en 1999.Chaque particule arrive en un point de l’écran, mais l’histogramme des impacts reproduit les franges d’Young, d’interfrange 𝑖=𝜆𝐷/𝑎 avec 𝜆=ℎ/𝑝. Les franges subsistent quand les particules sont envoyées une par une : chaque particule interfère avec elle-même. Si l’on détecte par quelle fente elle est passée, les franges disparaissent.\nFig. 34. – Construction des franges impact par impact (simulation schématique) : chaque particule est détectée en un point, et c’est l’ensemble des impacts qui dessine les franges d’Young.Longueur d’onde de de Broglie d’un électron\n𝜆=ℎ2𝑚𝑒𝑈≃1,23 nm𝑈 (en V)(49)\nPour 𝑈=50 kV, 𝜆≃5,5 pm (5,4 pm avec la correction relativiste), soit environ 105 fois moins que la lumière visible.\nPour aller plus loin. C. Jönsson, Zeitschrift für Physik 161, 454 (1961) ; A. Tonomura et al., American Journal of Physics 57, 117 (1989) ; M. Arndt et al., Nature 401, 680 (1999). ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/fentes-young-particules/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e L’hypothèse de de Broglie est confirmée en 1927 par la diffraction d’électrons sur un cristal de nickel (Davisson et Germer). Claus Jönsson réalise en 1961 la première expérience de fentes d’Young avec des électrons. Merli, Missiroli et Pozzi (1974) puis Tonomura et ses collègues (1989) observent les franges se construire électron par électron. Zeilinger et ses collègues réalisent l’expérience avec des neutrons en 1988, Arndt et ses collègues avec des molécules de C\u003csub\u003e60\u003c/sub\u003e en 1999.\u003c/aside\u003e\u003cp\u003eChaque particule arrive en un point de l’écran, mais l’histogramme des impacts reproduit les franges d’Young, d’interfrange \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑖\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝜆\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝐷\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑎\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e avec \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜆\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eℎ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑝\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. Les franges subsistent quand les particules sont envoyées une par une : chaque particule interfère avec elle-même. Si l’on détecte par quelle fente elle est passée, les franges disparaissent.\u003c/p\u003e","title":"Fentes d’Young pour les particules"},{"content":" Note historique. Norman Ramsey imagine en 1949 la méthode des champs oscillants séparés pour la résonance magnétique moléculaire, ce qui lui vaut le prix Nobel de physique en 1989. Elle est à la base des horloges atomiques : depuis 1967, la seconde est définie par la transition hyperfine du césium 133, à 9 192 631 770 Hz.Un atome à deux niveaux reçoit deux impulsions 𝜋/2 de fréquence 𝜔 séparées par un temps d’évolution libre 𝑇. Les impulsions jouent le rôle de séparatrices et l’évolution libre celui des bras : la population du niveau excité oscille avec le désaccord 𝛿=𝜔−𝜔0.\nFig. 35. – Interféromètre de Ramsey : deux impulsions 𝜋/2 séparées de 𝑇 (à gauche), et franges de la population finale en fonction du désaccord (à droite), dont la frange centrale a une largeur Δ𝜈≃1/(2𝑇).Franges de Ramsey\n𝑃=1+cos(𝛿𝑇)2,Δ𝜈≃12𝑇(50)\nLa frange centrale a une largeur Δ𝜈 à mi-hauteur inversement proportionnelle à 𝑇. Dans une fontaine à césium, 𝑇≃0,5 s, soit Δ𝜈≃1 Hz pour une fréquence de 9,2 GHz.\nPour aller plus loin. N. F. Ramsey, Physical Review 78, 695 (1950) ; C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique, Hermann. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/ramsey/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Norman Ramsey imagine en 1949 la méthode des champs oscillants séparés pour la résonance magnétique moléculaire, ce qui lui vaut le prix Nobel de physique en 1989. Elle est à la base des horloges atomiques : depuis 1967, la seconde est définie par la transition hyperfine du césium 133, à 9 192 631 770 Hz.\u003c/aside\u003e\u003cp\u003eUn atome à deux niveaux reçoit deux impulsions \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜋\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e de fréquence \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜔\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e séparées par un temps d’évolution libre \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑇\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. Les impulsions jouent le rôle de séparatrices et l’évolution libre celui des bras : la population du niveau excité oscille avec le désaccord \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝛿\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝜔\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝜔\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e.\u003c/p\u003e","title":"Interféromètre de Ramsey"},{"content":" Note historique. Gottfried Möllenstedt et Heinrich Düker réalisent au milieu des années 1950 un biprisme pour électrons, analogue de celui de Fresnel. Il est devenu l’outil de base de l’holographie électronique.Un filament conducteur de diamètre inférieur au micromètre, porté à un potentiel de quelques volts et placé entre deux plaques à la masse, dévie les électrons de part et d’autre. Les deux faisceaux semblent issus de deux sources virtuelles séparées de 𝑎 et donnent des franges d’interfrange 𝑖=𝜆𝐷/𝑎, comme pour le biprisme de Fresnel ; la tension du filament règle 𝑎 et donc l’interfrange. Le dispositif sert à mesurer la phase des électrons qui traversent un échantillon, donc les champs électrique et magnétique qu’il contient.\nFig. 36. – Biprisme de Möllenstedt : un filament fin, porté à un potentiel 𝑉\u003e0 entre deux plaques à la masse, dévie vers lui les électrons qui passent de part et d’autre. Les deux faisceaux semblent issus de deux sources virtuelles 𝑆1 et 𝑆2 séparées de 𝑎 et se recouvrent dans la zone violette, où apparaissent des franges d’interfrange 𝑖=𝜆𝐷/𝑎.Pour aller plus loin. G. Möllenstedt et H. Düker, Zeitschrift für Physik 145, 377 (1956) ; F. Hasselbach, Reports on Progress in Physics 73, 016101 (2010). ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/biprisme-mollenstedt/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Gottfried Möllenstedt et Heinrich Düker réalisent au milieu des années 1950 un biprisme pour électrons, analogue de celui de Fresnel. Il est devenu l’outil de base de l’holographie électronique.\u003c/aside\u003e\u003cp\u003eUn filament conducteur de diamètre inférieur au micromètre, porté à un potentiel de quelques volts et placé entre deux plaques à la masse, dévie les électrons de part et d’autre. Les deux faisceaux semblent issus de deux sources virtuelles séparées de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑎\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e et donnent des franges d’interfrange \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑖\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝜆\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝐷\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑎\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, comme pour le biprisme de Fresnel ; la tension du filament règle \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑎\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e et donc l’interfrange. Le dispositif sert à mesurer la phase des électrons qui traversent un échantillon, donc les champs électrique et magnétique qu’il contient.\u003c/p\u003e","title":"Biprisme à électrons de Möllenstedt"},{"content":" Note historique. Werner Ehrenberg et Raymond Siday évoquent l’effet dès 1949 ; David Bohm et Yakir Aharonov l’analysent en 1959. R. G. Chambers le met en évidence en 1960 avec un biprisme à électrons et un fin whisker de fer aimanté, et Akira Tonomura le confirme en 1986 avec un aimant torique entouré d’un blindage supraconducteur.Des électrons contournent un solénoïde de flux Φ dans lequel le champ magnétique est confiné : ils ne traversent jamais de zone où 𝑩≠0. Leur fonction d’onde acquiert pourtant sur chaque chemin la phase (𝑞/ℏ)∫𝑨⋅𝑑𝒍, d’où un déphasage entre les deux bras.\nFig. 37. – Effet Aharonov-Bohm : les deux faisceaux contournent un solénoïde où le champ magnétique est confiné ; le flux Φ décale les franges de Φ/Φ0 interfrange (ici une demi-frange pour Φ=Φ0/2).Effet Aharonov-Bohm\nΔ𝜑=𝑒Φℏ=2𝜋ΦΦ0,Φ0=ℎ𝑒≃4,1⋅10−15 Wb(51)\nLe potentiel vecteur 𝑨 a un effet physique mesurable même là où 𝑩=0 : seule sa circulation, c’est-à-dire le flux, est invariante de jauge.\nPour aller plus loin. Y. Aharonov et D. Bohm, Physical Review 115, 485 (1959) ; A. Tonomura et al., Physical Review Letters 56, 792 (1986) ; M. Peshkin et A. Tonomura, The Aharonov-Bohm Effect, Springer. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/aharonov-bohm/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Werner Ehrenberg et Raymond Siday évoquent l’effet dès 1949 ; David Bohm et Yakir Aharonov l’analysent en 1959. R. G. Chambers le met en évidence en 1960 avec un biprisme à électrons et un fin whisker de fer aimanté, et Akira Tonomura le confirme en 1986 avec un aimant torique entouré d’un blindage supraconducteur.\u003c/aside\u003e\u003cp\u003eDes électrons contournent un solénoïde de flux \u003cmath\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΦ\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e dans lequel le champ magnétique est confiné : ils ne traversent jamais de zone où \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑩\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e≠\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. Leur fonction d’onde acquiert pourtant sur chaque chemin la phase \u003cmath\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003e𝑞\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003eℏ\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo form=\"prefix\"\u003e∫\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝑨\u003c/mi\u003e\u003cmo lspace=\"0.2222222222222222em\" rspace=\"0.2222222222222222em\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝑑\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝒍\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, d’où un déphasage entre les deux bras.\u003c/p\u003e","title":"Effet Aharonov-Bohm"},{"content":" Note historique. Brian Josephson prédit en 1962 le courant tunnel entre deux supraconducteurs séparés par une barrière isolante fine (prix Nobel 1973). Jaklevic, Lambe, Silver et Mercereau observent en 1964 les interférences entre deux jonctions montées en parallèle, ancêtre du SQUID à courant continu. La quantification du flux dans un anneau supraconducteur, en unités de ℎ/2𝑒, avait été mesurée en 1961.Un anneau supraconducteur interrompu par deux jonctions de Josephson est un interféromètre de Mach-Zehnder pour les paires de Cooper : les deux jonctions sont les deux bras. Pour un SQUID symétrique d’inductance négligeable, le courant critique dépend du flux Φ dans l’anneau :\nSQUID\n𝐼𝑐(Φ)=2𝐼0|cos(𝜋ΦΦ0)|,Φ0=ℎ2𝑒≃2,07⋅10−15 Wb(52)\nEn mesurant le flux à 10−6Φ0 près, on détecte pour une boucle de 1 mm² des champs de l’ordre du femtotesla : magnétoencéphalographie, géophysique.\nFig. 38. – SQUID : anneau supraconducteur interrompu par deux jonctions de Josephson (à gauche) et courant critique en fonction du flux (à droite), périodique de période Φ0.Pour aller plus loin. J. Clarke et A. I. Braginski (éd.), The SQUID Handbook, Wiley ; R. C. Jaklevic et al., Physical Review Letters 12, 159 (1964). ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/squid/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Brian Josephson prédit en 1962 le courant tunnel entre deux supraconducteurs séparés par une barrière isolante fine (prix Nobel 1973). Jaklevic, Lambe, Silver et Mercereau observent en 1964 les interférences entre deux jonctions montées en parallèle, ancêtre du SQUID à courant continu. La quantification du flux dans un anneau supraconducteur, en unités de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003eℎ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003e𝑒\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, avait été mesurée en 1961.\u003c/aside\u003e\u003cp\u003eUn anneau supraconducteur interrompu par deux jonctions de Josephson est un interféromètre de Mach-Zehnder pour les paires de Cooper : les deux jonctions sont les deux bras. Pour un SQUID symétrique d’inductance négligeable, le courant critique dépend du flux \u003cmath\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΦ\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e dans l’anneau :\u003c/p\u003e","title":"Interférences de Josephson : le SQUID"},{"content":" Note historique. Ulrich Bonse et Michael Hart réalisent en 1965 le premier interféromètre à rayons X, taillé dans un monocristal de silicium parfait : trois lames parallèles diffractent le faisceau et jouent le rôle de séparatrice, de miroir et de recombineur. Le même principe permet à Helmut Rauch, Wolfgang Treimer et Ulrich Bonse de construire le premier interféromètre à neutrons en 1974.Fig. 39. – Interféromètre à cristal parfait (Bonse-Hart pour les rayons X, même principe pour les neutrons) : trois lames taillées dans un même monocristal séparent, redirigent puis recombinent le faisceau ; un échantillon placé sur un bras fait varier l’intensité des deux sorties O et H.Pour aller plus loin. U. Bonse et M. Hart, Applied Physics Letters 6, 155 (1965). ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/bonse-hart/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Ulrich Bonse et Michael Hart réalisent en 1965 le premier interféromètre à rayons X, taillé dans un monocristal de silicium parfait : trois lames parallèles diffractent le faisceau et jouent le rôle de séparatrice, de miroir et de recombineur. Le même principe permet à Helmut Rauch, Wolfgang Treimer et Ulrich Bonse de construire le premier interféromètre à neutrons en 1974.\u003c/aside\u003e\u003cfigure\u003e\u003csvg style=\"--largeur-max:884px;overflow: visible; width: 38.789888106em; height: 18.798176544em; display: block\" viewBox=\"0 0 368.503937008 178.582677165\" width=\"368.503937008pt\" height=\"178.582677165pt\" xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" xmlns:h5=\"http://www.w3.org/1999/xhtml\"\u003e\u003cg\u003e\u003cpath fill=\"#cddceb\" fill-rule=\"nonzero\" stroke=\"#000000\" stroke-width=\"0.7\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke-miterlimit=\"4\" transform=\"translate(61.795275591 12.755905512)\" d=\"M 0 0v 150.236220472h 6.803149606v -150.236220472Z \"/\u003e\u003cpath fill=\"#cddceb\" fill-rule=\"nonzero\" stroke=\"#000000\" stroke-width=\"0.7\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke-miterlimit=\"4\" transform=\"translate(146.834645669 12.755905512)\" d=\"M 0 0v 150.236220472h 6.803149606v -150.236220472Z \"/\u003e\u003cpath fill=\"#cddceb\" fill-rule=\"nonzero\" stroke=\"#000000\" stroke-width=\"0.7\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke-miterlimit=\"4\" transform=\"translate(231.874015748 12.755905512)\" d=\"M 0 0v 150.236220472h 6.803149606v -150.236220472Z \"/\u003e\u003cpath fill=\"none\" stroke=\"#aaaaaa\" stroke-width=\"0.6\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke-miterlimit=\"4\" stroke-dashoffset=\"0\" stroke-dasharray=\"3 3\" transform=\"translate(150.236220472 53.515880008)\" d=\"M 0 0l 85.039370079 -34.35813574\"/\u003e\u003cpath fill=\"none\" stroke=\"#aaaaaa\" stroke-width=\"0.6\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke-miterlimit=\"4\" stroke-dashoffset=\"0\" stroke-dasharray=\"3 3\" transform=\"translate(150.236220472 122.232151488)\" d=\"M 0 0l 85.039370079 34.35813574\"/\u003e\u003cpath fill=\"none\" stroke=\"#b35c00\" stroke-width=\"1\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke-miterlimit=\"4\" transform=\"translate(28.346456693 102.762541236)\" d=\"M 0 0l 36.850393701 -14.888525487\"/\u003e\u003cpath fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\" d=\"M 0 0m 49.005655587 94.415683078l -5.158224109 0.096836324l 1.380440045 3.416709007Z \"/\u003e\u003cpath fill=\"none\" stroke=\"#2850c8\" stroke-width=\"1\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke-miterlimit=\"4\" transform=\"translate(65.196850394 87.874015748)\" d=\"M 0 0l 85.039370079 -34.35813574\"/\u003e\u003cpath fill=\"none\" stroke=\"#2850c8\" stroke-width=\"1\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke-miterlimit=\"4\" transform=\"translate(150.236220472 53.515880008)\" d=\"M 0 0l 85.039370079 34.35813574\"/\u003e\u003cpath fill=\"#2850c8\" fill-rule=\"nonzero\" d=\"M 0 0m 109.950537476 69.792352464l -5.158224109 0.096836324l 1.380440045 3.416709007Z \"/\u003e\u003cpath fill=\"#2850c8\" fill-rule=\"nonzero\" d=\"M 0 0m 194.989907555 71.597543292l -3.777784064 -3.513545332l -1.380440045 3.416709007Z \"/\u003e\u003cpath fill=\"none\" stroke=\"#c82828\" stroke-width=\"1\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke-miterlimit=\"4\" transform=\"translate(65.196850394 87.874015748)\" d=\"M 0 0l 85.039370079 34.35813574\"/\u003e\u003cpath fill=\"none\" stroke=\"#c82828\" stroke-width=\"1\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke-miterlimit=\"4\" transform=\"translate(150.236220472 122.232151488)\" d=\"M 0 0l 85.039370079 -34.35813574\"/\u003e\u003cpath fill=\"#c82828\" fill-rule=\"nonzero\" d=\"M 0 0m 109.950537476 105.955679032l -3.777784064 -3.513545332l -1.380440045 3.416709007Z \"/\u003e\u003cpath fill=\"#c82828\" fill-rule=\"nonzero\" d=\"M 0 0m 194.989907555 104.150488204l -5.158224109 0.096836324l 1.380440045 3.416709007Z \"/\u003e\u003cpath fill=\"none\" stroke=\"#7832aa\" stroke-width=\"1\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke-miterlimit=\"4\" transform=\"translate(235.275590551 87.874015748)\" d=\"M 0 0l 76.535433071 -30.922322166\"/\u003e\u003cpath fill=\"none\" stroke=\"#7832aa\" stroke-width=\"1\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke-miterlimit=\"4\" transform=\"translate(235.275590551 87.874015748)\" d=\"M 0 0l 76.535433071 30.922322166\"/\u003e\u003cpath fill=\"#ebebeb\" fill-rule=\"nonzero\" stroke=\"#000000\" stroke-width=\"0.8\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke-miterlimit=\"4\" transform=\"translate(311.811023622 51.282402243)\" d=\"M 0 0v 11.338582677h 11.338582677v -11.338582677Z \"/\u003e\u003cpath fill=\"#ebebeb\" fill-rule=\"nonzero\" stroke=\"#000000\" stroke-width=\"0.8\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke-miterlimit=\"4\" transform=\"translate(311.811023622 113.127046576)\" d=\"M 0 0v 11.338582677h 11.338582677v -11.338582677Z \"/\u003e\u003cg transform=\"matrix(1 0 0 -1 325.984251969 58.098693582)\"\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g874BA756BEF6FFB8F0A4E1BC52A3AB5C\" x=\"0\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003c/g\u003e\u003cg transform=\"matrix(1 0 0 -1 325.984251969 119.943337914)\"\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g47AAA09801A7139628471423FC36D5A4\" x=\"0\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003c/g\u003e\u003cpath fill=\"#dcf0dc\" fill-rule=\"nonzero\" stroke=\"#000000\" stroke-width=\"0.7\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke-miterlimit=\"4\" transform=\"translate(103.464566929 59.356365201)\" d=\"M 0 0v 22.677165354h 8.503937008v -22.677165354Z \"/\u003e\u003cg transform=\"matrix(1 0 0 -1 79.37007874 44.243522681)\"\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g2278FDC077C02D9ABB409B36C7E3E6CA\" x=\"0\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g6841D6A45D958288DBB0953F349C8FF0\" x=\"3.996\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gD5BD33E8968C929B2B2EFAA99760A989\" x=\"7.74\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gB049D630B366BEBE34350F206D1098CE\" x=\"12.744\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g895790C76A4BFF878809F938286759A4\" x=\"17.244\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gE0841AF19B8104935F59E0404041FBFC\" x=\"21.996\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g61E0077A24A0F1F3116924A4F7A066F\" x=\"25.497\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gD125ED2697209BABD3F57AEFD4371804\" x=\"27.999\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gD125ED2697209BABD3F57AEFD4371804\" x=\"30.501\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g820468CFB3A4DDC83F10D756450D3A8F\" x=\"33.003\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g895790C76A4BFF878809F938286759A4\" x=\"37.503\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003c/g\u003e\u003cg transform=\"matrix(1 0 0 -1 121.87707874 44.243522681)\"/\u003e\u003cg transform=\"matrix(1 0 0 -1 124.87407874 44.243522681)\"\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gCF1F2F17505BC46F8E1B84BA3E4D6AC7\" x=\"0\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g7622387F0B6B045C4E51F1ABA4AB01EE\" x=\"3.501\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g2278FDC077C02D9ABB409B36C7E3E6CA\" x=\"8.505\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g12274678AE32B779F11593E2A5DF055\" x=\"12.501\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gD5BD33E8968C929B2B2EFAA99760A989\" x=\"17.505\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gB049D630B366BEBE34350F206D1098CE\" x=\"22.509\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g73E03674CA8C4385704FFABDA48038D1\" x=\"27.009\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gF945EB700F6A54D1B867854DFA9C6066\" x=\"30.555\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g15A009C7F056BBA3E8D21C6F7CB69561\" x=\"34.551\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g144E031871D0051EE70FF2340D03726B\" x=\"39.555\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g63626D04E064CA41DEE6010B3B6BDDF4\" x=\"43.083\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003c/g\u003e\u003cg transform=\"matrix(1 0 0 -1 8.503937008 173.391094488)\"\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gE0841AF19B8104935F59E0404041FBFC\" x=\"0\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g144E031871D0051EE70FF2340D03726B\" x=\"3.501\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g820468CFB3A4DDC83F10D756450D3A8F\" x=\"7.029\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g61E0077A24A0F1F3116924A4F7A066F\" x=\"11.529\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g73E03674CA8C4385704FFABDA48038D1\" x=\"14.031\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gD125ED2697209BABD3F57AEFD4371804\" x=\"20.574\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gB049D630B366BEBE34350F206D1098CE\" x=\"23.076\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g808133145A84206526C509B025D65099\" x=\"27.576\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gF945EB700F6A54D1B867854DFA9C6066\" x=\"35.073\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g73E03674CA8C4385704FFABDA48038D1\" x=\"39.069\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gE0841AF19B8104935F59E0404041FBFC\" x=\"45.612\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gB049D630B366BEBE34350F206D1098CE\" x=\"49.113\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g61E0077A24A0F1F3116924A4F7A066F\" x=\"53.613\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gD125ED2697209BABD3F57AEFD4371804\" x=\"56.115\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gD125ED2697209BABD3F57AEFD4371804\" x=\"58.617\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g2278FDC077C02D9ABB409B36C7E3E6CA\" x=\"61.119\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gF945EB700F6A54D1B867854DFA9C6066\" x=\"65.115\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g73E03674CA8C4385704FFABDA48038D1\" x=\"69.111\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g7622387F0B6B045C4E51F1ABA4AB01EE\" x=\"75.654\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gB049D630B366BEBE34350F206D1098CE\" x=\"80.658\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g895790C76A4BFF878809F938286759A4\" x=\"85.158\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g73E03674CA8C4385704FFABDA48038D1\" x=\"90.162\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g15A009C7F056BBA3E8D21C6F7CB69561\" x=\"96.705\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g895790C76A4BFF878809F938286759A4\" x=\"101.709\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g808133145A84206526C509B025D65099\" x=\"109.71\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g1EAB115CD165C7EC563DF621B77A223C\" x=\"117.207\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g808133145A84206526C509B025D65099\" x=\"121.203\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gF945EB700F6A54D1B867854DFA9C6066\" x=\"128.7\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g808133145A84206526C509B025D65099\" x=\"135.693\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g820468CFB3A4DDC83F10D756450D3A8F\" x=\"143.19\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g895790C76A4BFF878809F938286759A4\" x=\"147.69\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g820468CFB3A4DDC83F10D756450D3A8F\" x=\"152.694\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g6841D6A45D958288DBB0953F349C8FF0\" x=\"157.446\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g144E031871D0051EE70FF2340D03726B\" x=\"161.442\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g61E0077A24A0F1F3116924A4F7A066F\" x=\"164.97\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g73E03674CA8C4385704FFABDA48038D1\" x=\"167.472\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gE0841AF19B8104935F59E0404041FBFC\" x=\"171.018\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gB049D630B366BEBE34350F206D1098CE\" x=\"174.519\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gD125ED2697209BABD3F57AEFD4371804\" x=\"179.019\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g7622387F0B6B045C4E51F1ABA4AB01EE\" x=\"184.518\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gF945EB700F6A54D1B867854DFA9C6066\" x=\"189.522\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g73E03674CA8C4385704FFABDA48038D1\" x=\"196.515\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g61E0077A24A0F1F3116924A4F7A066F\" x=\"200.061\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gD125ED2697209BABD3F57AEFD4371804\" x=\"202.563\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g61E0077A24A0F1F3116924A4F7A066F\" x=\"205.065\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g6841D6A45D958288DBB0953F349C8FF0\" x=\"207.567\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g61E0077A24A0F1F3116924A4F7A066F\" x=\"211.563\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g15A009C7F056BBA3E8D21C6F7CB69561\" x=\"214.065\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g808133145A84206526C509B025D65099\" x=\"219.069\" y=\"0\" fill=\"#000000\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003c/g\u003e\u003cg transform=\"matrix(1 0 0 -1 8.503937008 122.367472441)\"\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g5CA36CE61C7F6E467A3B31FED154EC90\" x=\"0\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gB049D630B366BEBE34350F206D1098CE\" x=\"2.754\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g61E0077A24A0F1F3116924A4F7A066F\" x=\"7.254\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g73E03674CA8C4385704FFABDA48038D1\" x=\"9.756\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g6841D6A45D958288DBB0953F349C8FF0\" x=\"13.302\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gF945EB700F6A54D1B867854DFA9C6066\" x=\"17.298\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gB049D630B366BEBE34350F206D1098CE\" x=\"21.294\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g15A009C7F056BBA3E8D21C6F7CB69561\" x=\"25.794\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g61E0077A24A0F1F3116924A4F7A066F\" x=\"33.795\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g895790C76A4BFF878809F938286759A4\" x=\"36.297\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g6841D6A45D958288DBB0953F349C8FF0\" x=\"41.301\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g61E0077A24A0F1F3116924A4F7A066F\" x=\"45.297\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g7622387F0B6B045C4E51F1ABA4AB01EE\" x=\"47.799\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gF945EB700F6A54D1B867854DFA9C6066\" x=\"52.803\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#g895790C76A4BFF878809F938286759A4\" x=\"56.799\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003cuse xlink:href=\"#gE0841AF19B8104935F59E0404041FBFC\" x=\"61.551\" y=\"0\" fill=\"#b35c00\" fill-rule=\"nonzero\"/\u003e\u003c/g\u003e\u003c/g\u003e\u003cdefs\u003e\u003csymbol id=\"g874BA756BEF6FFB8F0A4E1BC52A3AB5C\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 3.492 -0.198c 1.602 0 2.997 1.413 2.997 3.276c 0 1.863 -1.404 3.267 -3.006 3.267c -1.602 0 -3.006 -1.404 -3.006 -3.267c 0 -1.863 1.413 -3.276 3.015 -3.276Z m 0 0.234c -0.909 0 -2.061 0.837 -2.061 3.168c 0 2.106 1.161 2.916 2.061 2.916c 0.9 0 2.061 -0.81 2.061 -2.916c 0 -2.331 -1.152 -3.168 -2.061 -3.168Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"g47AAA09801A7139628471423FC36D5A4\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 2.781 0.279c -0.729 0 -0.756 0.099 -0.756 0.423v 2.358h 2.691v -2.358c 0 -0.324 -0.027 -0.423 -0.738 -0.423h -0.189v -0.279c 0.306 0.018 0.819 0.027 1.323 0.027c 0.504 0 1.026 -0.009 1.332 -0.027v 0.279h -0.171c -0.729 0 -0.756 0.099 -0.756 0.423v 2.502v 2.286c 0 0.261 0.027 0.378 0.756 0.378h 0.171v 0.279c -0.198 -0.018 -1.071 -0.027 -1.341 -0.027c -0.495 0 -1.044 0.009 -1.314 0.027v -0.279h 0.171c 0.729 0 0.756 -0.108 0.756 -0.414v -2.115h -2.691v 2.151c 0 0.261 0.027 0.378 0.756 0.378h 0.171v 0.279c -0.198 -0.018 -1.071 -0.027 -1.341 -0.027c -0.495 0 -1.044 0.009 -1.314 0.027v -0.279h 0.171c 0.729 0 0.756 -0.108 0.756 -0.414v -2.376v -2.376c 0 -0.324 -0.027 -0.423 -0.738 -0.423h -0.189v -0.279c 0.306 0.018 0.819 0.027 1.323 0.027c 0.504 0 1.026 -0.009 1.332 -0.027v 0.279Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"g2278FDC077C02D9ABB409B36C7E3E6CA\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 3.114 5.958c 0 0.162 -0.162 0.324 -0.324 0.324c -0.135 0 -0.234 -0.099 -0.27 -0.153l -1.08 -1.377l 0.153 -0.162l 1.368 1.098c 0.081 0.063 0.153 0.162 0.153 0.27Z m 0.378 -4.923c -0.288 -0.828 -0.99 -0.909 -1.206 -0.909c -0.315 0 -0.531 0.117 -0.729 0.279c -0.378 0.315 -0.558 0.81 -0.558 1.539v 0.135h 2.574c 0.144 0 0.162 0.027 0.162 0.18c 0 1.035 -0.585 1.773 -1.611 1.773c -1.098 0 -1.872 -0.963 -1.872 -2.052c 0 -1.242 0.963 -2.079 1.998 -2.079c 1.062 0 1.485 0.981 1.485 1.17c 0 0.054 -0.027 0.108 -0.108 0.108c -0.063 0 -0.099 -0.036 -0.135 -0.144Z m -1.377 2.799c 0.909 0 1.026 -1.17 1.026 -1.53v -0.027h -2.133v 0.063c 0.072 1.188 0.747 1.494 1.107 1.494Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"g6841D6A45D958288DBB0953F349C8FF0\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 2.268 -0.099c 1.134 0 1.467 1.026 1.467 1.179c 0 0.054 -0.045 0.081 -0.126 0.081c -0.072 0 -0.09 -0.018 -0.108 -0.081c -0.171 -0.54 -0.522 -0.954 -1.179 -0.954c -0.531 0 -1.269 0.468 -1.269 1.836c 0 0.729 0.162 1.161 0.486 1.53c 0.198 0.198 0.405 0.306 0.711 0.306c 0.405 0 0.783 -0.126 0.981 -0.324c -0.351 -0.018 -0.423 -0.27 -0.423 -0.405c 0 -0.243 0.153 -0.423 0.423 -0.423c 0.234 0 0.405 0.162 0.405 0.432c 0 0.603 -0.711 0.954 -1.377 0.954c -1.161 0 -1.962 -1.026 -1.962 -2.088c 0 -0.981 0.747 -2.043 1.971 -2.043Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"gD5BD33E8968C929B2B2EFAA99760A989\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 2.889681152 3.978146118c 0.82715625 0 1.223318848 -0.396525146 1.223318848 -1.242146393v -2.151c 0 -0.29493457 0.18 -0.306 0.702 -0.306v -0.279c -0.216 0 -0.729 0.027 -1.116 0.027c -0.162 0 -0.792 -0.027 -0.909 -0.027v 0.279c 0.018142273 0 0.035846741 -6.866e-6 0.053122742 -6.866e-6c 0.514088745 0 0.648877258 0.006046738 0.648877258 0.378006866v 2.088c 0 0.72 -0.216 1.017 -0.666 1.017c -0.474890625 0 -1.215 -0.423 -1.215 -1.44v -1.629c 0 -0.395942047 0.063 -0.414 0.702 -0.414v -0.279c -0.117 0 -0.801 0.027 -0.963 0.027c -0.396 0 -0.855 -0.027 -1.062 -0.027v 0.279c 0.666 0 0.702 0.036 0.702 0.423v 4.698000275c 0 0.405 -0.099 0.468 -0.702 0.468v 0.279l 1.296 0.099v -3.132h 0.009c 0.396 0.828 1.071005493 0.864146118 1.296681152 0.864146118Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"gB049D630B366BEBE34350F206D1098CE\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 3.564 2.538c 0 0.369 -0.036 0.711 -0.297 0.972c -0.333 0.333 -0.693 0.522 -1.341 0.522c -0.522 0 -1.278 -0.351 -1.278 -1.008c 0 -0.279 0.162 -0.432 0.414 -0.432c 0.252 0 0.414 0.162 0.414 0.423c 0 0.216 -0.153 0.405 -0.459 0.405c 0.216 0.27 0.621 0.414 0.945 0.414c 0.486 0 0.981 -0.387 0.981 -1.116v -0.369c -1.998 -0.054 -2.556 -0.882 -2.556 -1.485c 0 -0.756 0.864 -0.963 1.422 -0.963c 0.504 0 0.999 0.261 1.197 0.783c 0.009 -0.171 0.153 -0.738 0.711 -0.738c 0.27 0 0.729 0.198 0.729 0.846v 0.513h -0.225v -0.513c 0 -0.468 -0.207 -0.567 -0.315 -0.567c -0.18 0 -0.342 0.117 -0.342 0.621Z m -0.621 -1.278c 0 -0.792 -0.585 -1.161 -1.062 -1.161c -0.495 0 -0.801 0.378975586 -0.801 0.774c 0 0.432 0.324 1.224 1.863 1.287Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"g895790C76A4BFF878809F938286759A4\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 4.113 2.718c 0 0.909 -0.423 1.26 -1.251 1.26c -0.666 0 -1.089 -0.45 -1.305 -0.945v 0.945l -1.269 -0.099v -0.279h 0.117c 0.576 0 0.585 -0.155847656 0.585 -0.531v -2.403c 0 -0.378 -0.099 -0.387 -0.702 -0.387v -0.279c 0.207 0 0.792 0.027 1.008 0.027c 0.162 0 0.9 -0.027 1.017 -0.027v 0.279c -0.594 0 -0.702 0.022940277 -0.702 0.369v 1.674c 0 0.909 0.621 1.44 1.215 1.44c 0.414 0 0.666 -0.272975098 0.666 -0.927v -2.187c 0 -0.358250977 -0.108 -0.369 -0.702 -0.369v -0.279c 0.207 0.009 0.702 0.027 1.098 0.027c 0.162 0 0.81 -0.018 0.927 -0.027v 0.279h -0.162c -0.486 0 -0.54 0.099533249 -0.54 0.324Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"gE0841AF19B8104935F59E0404041FBFC\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 2.763 1.098v 0.531h 0.225v -0.531c 0 -0.666 -0.281293945 -1.197 -1.010425507 -1.197c -0.816574493 0 -1.041574493 0.666 -1.041574493 1.251v 2.448h -0.765v 0.198c 0.792 0.027 1.152 0.855 1.161 1.737h 0.225v -1.647h 1.287v -0.288h -1.287v -2.547c 0 -0.468 0.162 -0.927 0.583443375 -0.927c 0.445544907 0 0.622556625 0.513 0.622556625 0.972Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"g61E0077A24A0F1F3116924A4F7A066F\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 0.297 0v 0.279c 0.549 0 0.702 0.002540039 0.702 0.333v 2.529c 0 0.400754883 -0.099 0.459 -0.666 0.459v 0.279l 1.26 0.099v -3.366c 0 -0.324139801 0.135 -0.333 0.63 -0.333v -0.279c -0.207 0 -0.594 0.027 -0.945 0.027c -0.315 0 -0.765 -0.027 -0.981 -0.027Z m 0.864 5.067c 0.279 0 0.468 0.198 0.468 0.477c 0 0.306 -0.243 0.468 -0.477 0.468c -0.234 0 -0.468 -0.153 -0.468 -0.468c 0 -0.225 0.135 -0.477 0.477 -0.477Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"gD125ED2697209BABD3F57AEFD4371804\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 1.593 0.693c 0 -0.396 0.063 -0.414 0.702 -0.414v -0.279c -0.225 0 -0.648 0.027 -1.008 0.027c -0.36 0 -0.765 -0.027 -0.99 -0.027v 0.279c 0.603 0 0.702 0.027 0.702 0.36v 4.788c 0 0.423 -0.198 0.441 -0.702 0.441v 0.279l 1.296 0.099Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"g820468CFB3A4DDC83F10D756450D3A8F\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 2.25 0.126c -0.54 0 -0.954 0.369 -1.116 0.81c -0.099 0.279 -0.135 0.594 -0.135 1.17c 0 0.576 0.072 0.954 0.315 1.26c 0.191035217 0.240562958 0.531 0.468 0.909 0.468c 0.378 0 0.792 -0.207 0.954 -0.468c 0.243 -0.306 0.315 -0.684 0.315 -1.26c 0 -0.576 -0.036 -0.891 -0.135 -1.17c -0.162 -0.441 -0.567 -0.81 -1.107 -0.81Z m 1.989 1.8c 0 1.152 -0.9 2.106 -1.989 2.106c -1.125 0 -1.998 -0.981 -1.998 -2.106c 0 -1.161 0.936 -2.025 1.989 -2.025c 1.089 0 1.998 0.882 1.998 2.025Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"gCF1F2F17505BC46F8E1B84BA3E4D6AC7\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 1.413 2.25c 0 1.458 0.315 2.709 0.936 3.627c 0.167853516 0.248132812 0.36 0.477 0.576 0.684c 0.119460937 0.114486328 0.036 0.279 -0.171 0.117c -0.414 -0.324 -0.754962891 -0.725932617 -1.035 -1.188c -0.54 -0.891 -0.828 -1.998 -0.828 -3.24c 0 -1.242 0.288 -2.349 0.828 -3.24c 0.280038345 -0.462063263 0.621 -0.864 1.035 -1.188c 0.207 -0.162 0.290462311 0.00251532 0.171 0.117c -0.216 0.207 -0.408146484 0.435867188 -0.576 0.684c -0.620997391 0.918001785 -0.936 2.169 -0.936 3.627Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"g7622387F0B6B045C4E51F1ABA4AB01EE\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 2.205 -0.099c 0.828 0 1.206 0.585 1.215 0.594v -0.594h 0.036c 0 0 1.251 0.099 1.26 0.099h 0.027v 0.279h -0.099c -0.513 0 -0.603 0.099 -0.603 0.459v 5.508h -0.009c -0.063 0 -1.287 -0.099 -1.287 -0.099v -0.279h 0.108c 0.459 0 0.594 -0.09 0.594 -0.423v -2.016c -0.297 0.36 -0.702 0.549 -1.134 0.549c -1.152 0 -2.007 -0.972 -2.007 -2.034c 0 -1.130845001 0.865581894 -2.043 1.899 -2.043Z m 0.063 0.198c -0.333 0 -0.567 0.135 -0.783 0.351c -0.297 0.351 -0.432 0.693 -0.432 1.476c 0 0.234 0.009 0.738 0.198 1.134c 0.198 0.414 0.648 0.72 1.098 0.72c 0.468 0 0.837 -0.27 1.062 -0.711v -2.16c -0.063 -0.198 -0.459 -0.81 -1.143 -0.81Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"g12274678AE32B779F11593E2A5DF055\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 0.252 3.6c 0.63 0 0.702 -0.045 0.702 -0.468v -4.23c 0 -0.36 -0.117 -0.369 -0.702 -0.369v -0.279c 0.207 0 0.882 0.027 1.008 0.027c 0.162 0 0.855 -0.027 1.017 -0.027v 0.279c -0.603 0 -0.702 0 -0.702 0.414v 1.584c 0.135 -0.324 0.603 -0.63 1.098 -0.63c 1.031431641 0 2.016 0.809474167 2.016 2.088c 0 1.053 -0.84412793 1.989 -1.872 1.989c -0.351 0 -0.801 -0.072 -1.269 -0.594v 0.594l -1.296 -0.099Z m 1.323 -2.682v 2.106c 0.216 0.396 0.621 0.72 1.17 0.72c 0.558 0 1.188 -0.621 1.188 -1.809c 0 -1.233173035 -0.738 -1.836 -1.278 -1.836c -0.711 0 -1.044 0.648 -1.08 0.819Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"g73E03674CA8C4385704FFABDA48038D1\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 3.015 3.888v -1.035c 0 -0.126 -0.018 -0.162 -0.108 -0.162c -0.108 0 -0.126 0.054 -0.126 0.153c 0 0.135 -0.045 1.017 -1.026 1.017c -0.738 0 -1.026 -0.324 -1.026 -0.675c 0 -0.369 0.306 -0.54 0.576 -0.621c 0.422753082 -0.126825897 0.639 -0.117 1.044 -0.252c 0.572625 -0.19087207 0.891 -0.648 0.891 -1.152c 0 -0.603 -0.342 -1.26 -1.458 -1.26c -0.432 0 -0.738 0.144 -0.981 0.387c -0.280817825 -0.324020462 -0.336523178 -0.388295975 -0.425415619 -0.388295975c -0.05047229 0 -0.078584381 0.030677261 -0.078584381 0.190295975v 1.251c 0 0.161992447 0.027 0.189 0.117 0.189c 0.072 0 0.095171814 -0.018773026 0.117 -0.117c 0.072 -0.324 0.174165848 -0.610229965 0.294785156 -0.801c 0.290214844 -0.459 0.708755493 -0.513 0.965214844 -0.513c 0.603 0 1.017 0.279 1.017 0.819c 0 0.414 -0.297 0.639 -0.684 0.765c -0.24356044 0.079298767 -0.882 0.135 -1.26 0.351c -0.297 0.171 -0.567 0.468 -0.567 0.882c 0 0.477 0.297 1.116 1.449 1.116c 0.387 0 0.63 -0.108 0.837 -0.252c 0.234 0.225 0.267477539 0.252 0.333 0.252c 0.054 0 0.099 -0.009 0.099 -0.144Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"gF945EB700F6A54D1B867854DFA9C6066\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 3.492 1.035c -0.288 -0.828 -0.99 -0.909 -1.206 -0.909c -0.315 0 -0.531 0.117 -0.729 0.279c -0.378 0.315 -0.558 0.81 -0.558 1.539v 0.135h 2.574c 0.144 0 0.162 0.027 0.162 0.18c 0 1.035 -0.585 1.773 -1.611 1.773c -1.098 0 -1.872 -0.963 -1.872 -2.052c 0 -1.242 0.963 -2.079 1.998 -2.079c 1.062 0 1.485 0.981 1.485 1.17c 0 0.054 -0.027 0.108 -0.108 0.108c -0.063 0 -0.099 -0.036 -0.135 -0.144Z m -1.377 2.799c 0.909 0 1.026 -1.17 1.026 -1.53v -0.027h -2.133v 0.063c 0.072 1.188 0.747 1.494 1.107 1.494Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"g15A009C7F056BBA3E8D21C6F7CB69561\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 4.815 0l -1.296 -0.099v 0.81c -0.189 -0.432 -0.549 -0.81 -1.161 -0.81c -1.197 0 -1.368 0.645723633 -1.368 1.269v 1.809c 0 0.531 -0.054 0.621 -0.585 0.621h -0.117v 0.279l 1.323 0.099v -3.024c 0 -0.45 0.081 -0.837 0.774 -0.837c 0.606990234 0 1.107 0.520163086 1.107 1.395v 1.674c 0 0.342 -0.171 0.414 -0.585 0.414h -0.117v 0.279l 1.323 0.099v -3.222c 0 -0.369 0.072 -0.477 0.612 -0.477h 0.09Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"g144E031871D0051EE70FF2340D03726B\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 0.954 0.666c 0 -0.369 -0.09 -0.387 -0.702 -0.387v -0.279c 0.234 0 0.639 0.027 1.035 0.027c 0.396 0 0.954 -0.027 1.134 -0.027v 0.279c -0.873 0 -0.873 0.045 -0.873 0.504v 0.639c 0 0.756 0 0.846 0.009 0.918c 0.135 1.314 0.828 1.44 1.035 1.44c 0.045 0 0.072 0 0.117 -0.009c -0.126 -0.072 -0.207 -0.18 -0.207 -0.36c 0 -0.243 0.189 -0.378 0.387 -0.378c 0.144 0 0.387 0.09 0.387 0.396c 0 0.306 -0.297 0.549 -0.666 0.549c -0.576 0 -0.936 -0.468 -1.107 -0.99v 0.99l -1.251 -0.099v -0.279h 0.117c 0.441 -0.027 0.54 -0.054 0.576 -0.351c 0.009 -0.045 0.009 -0.477 0.009 -1.395Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"g63626D04E064CA41DEE6010B3B6BDDF4\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 2.07 2.25c 0 1.458 -0.315 2.709 -0.936 3.627c -0.171 0.252 -0.36 0.477 -0.576 0.684c -0.117 0.117 -0.036 0.279 0.171 0.117c 0.414 -0.324 0.756 -0.729 1.035 -1.188c 0.54 -0.891 0.828 -1.998 0.828 -3.24c 0 -1.242 -0.288 -2.349 -0.828 -3.24c -0.279 -0.459 -0.621 -0.864 -1.035 -1.188c -0.207 -0.162 -0.288 0 -0.171 0.117c 0.216 0.207 0.405 0.432 0.576 0.684c 0.621 0.918 0.936 2.169 0.936 3.627Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"g808133145A84206526C509B025D65099\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 3.492 2.763v -2.097c 0 -0.341847427 -0.099 -0.387 -0.558 -0.387h -0.144v -0.279c 0.117 0 0.81 0.027 1.008 0.027c 0.261 0 0.801 -0.027 1.017 -0.027v 0.279h -0.153c -0.45 0 -0.549 0.045 -0.549 0.378v 1.692c 0 0.873 0.594 1.431 1.215 1.431c 0.432 0 0.666 -0.297 0.666 -0.963v -2.142c 0 -0.36 -0.099 -0.396 -0.558 -0.396h -0.144v -0.279c 0.117 0 0.747 0.027 0.909 0.027c 0.396 0 0.909 -0.027 1.116 -0.027v 0.279c -0.459 0 -0.702 0 -0.702 0.279v 2.178c 0 0.927 -0.477 1.242 -1.215 1.242c -0.63 0 -1.053 -0.351 -1.314 -0.873c -0.09 0.585 -0.522 0.873 -1.179 0.873c -0.675 0 -1.089 -0.378 -1.35 -0.936v 0.936l -1.269 -0.099v -0.279c 0.648 0 0.702 -0.081 0.702 -0.486v -2.493c 0 -0.315 -0.144 -0.342 -0.558 -0.342h -0.144v -0.279c 0.216 0 0.747 0.027 0.918 0.027c 0.387 0 0.891 -0.027 1.107 -0.027v 0.279c -0.594 0 -0.702 0 -0.702 0.405v 1.674c 0 0.855 0.585 1.422 1.215 1.422c 0.45 0 0.666 -0.288 0.666 -1.017Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"g1EAB115CD165C7EC563DF621B77A223C\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 3.501 4.698l -1.368 1.458l -1.368 -1.458l 0.117 -0.126l 1.251 0.972l 1.251 -0.972Z m -0.009 -3.663c -0.288 -0.828 -0.99 -0.909 -1.206 -0.909c -0.315 0 -0.531 0.117 -0.729 0.279c -0.378 0.315 -0.558 0.81 -0.558 1.539v 0.135h 2.574c 0.144 0 0.162 0.027 0.162 0.18c 0 1.035 -0.585 1.773 -1.611 1.773c -1.098 0 -1.872 -0.963 -1.872 -2.052c 0 -1.242 0.963 -2.079 1.998 -2.079c 1.062 0 1.485 0.981 1.485 1.17c 0 0.054 -0.027 0.108 -0.108 0.108c -0.063 0 -0.099 -0.036 -0.135 -0.144Z m -1.377 2.799c 0.909 0 1.026 -1.17 1.026 -1.53v -0.027h -2.133v 0.063c 0.072 1.188 0.747 1.494 1.107 1.494Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003csymbol id=\"g5CA36CE61C7F6E467A3B31FED154EC90\" overflow=\"visible\"\u003e\u003cpath d=\"M 0 0m 1.602 0.639v 2.961h 1.026v 0.279h -1.053v 1.053c 0 0.783 0.45 1.215 0.81 1.215c 0.198 0 0.315 -0.063 0.315 -0.063c -0.036 -0.009 -0.27 -0.099 -0.27 -0.378c 0 -0.09 0.036 -0.387 0.387 -0.387c 0.252 0 0.396 0.162 0.396 0.396c 0 0.36 -0.36 0.63 -0.81 0.63c -0.666 0 -1.395 -0.513 -1.395 -1.422v -1.044h -0.711v -0.279h 0.711v -2.943c 0 -0.351 -0.117 -0.378 -0.567 -0.378h -0.135v -0.279c 0.216 0 0.639 0.027 1.035 0.027c 0.396 0 0.864 -0.009 1.134 -0.027v 0.279h -0.126c -0.648 0 -0.747 0.063 -0.747 0.36Z \"/\u003e\u003c/symbol\u003e\u003c/defs\u003e\u003c/svg\u003e\u003cfigcaption\u003eFig. 39. – Interféromètre à cristal parfait (Bonse-Hart pour les rayons X, même principe pour les neutrons) : trois lames taillées dans un même monocristal séparent, redirigent puis recombinent le faisceau ; un échantillon placé sur un bras fait varier l’intensité des deux sorties O et H.\u003c/figcaption\u003e\u003c/figure\u003e\u003cdiv\u003e\u003cspan class=\"couleur\" style=\"--couleur:#52789c\"\u003e\u003cstrong\u003ePour aller plus loin.\u003c/strong\u003e\u003c/span\u003e U. Bonse et M. Hart, \u003cem\u003eApplied Physics Letters\u003c/em\u003e 6, 155 (1965).\u003c/div\u003e\n\u003c/div\u003e","title":"Interféromètre de Bonse-Hart (rayons X)"},{"content":" Note historique. Helmut Rauch, Wolfgang Treimer et Ulrich Bonse construisent en 1974 le premier interféromètre à neutrons à partir d’un monocristal de silicium. En 1975, Colella, Overhauser et Werner y observent l’effet de la gravité sur la phase de la fonction d’onde d’un neutron ; la même année, deux groupes (Rauch et collègues, Werner et collègues) montrent qu’un spin 1/2 ne retrouve sa fonction d’onde initiale qu’après une rotation de 4𝜋.Le montage est celui de Bonse-Hart : trois lames parallèles taillées dans un même cristal parfait diffractent les neutrons thermiques (longueur d’onde de l’ordre de 0,2 nm), et jouent le rôle de séparatrice, de miroir et de recombineur. Un échantillon d’épaisseur 𝐷, de densité de noyaux 𝑁 et de longueur de diffusion cohérente 𝑏𝑐 introduit le déphasage |Δ𝜑|=𝑁𝑏𝑐𝜆𝐷. Le neutron est sensible aux quatre interactions, d’où des tests de la gravité, de la rotation (Sagnac pour la matière) et des spineurs.\nPour aller plus loin. H. Rauch et S. A. Werner, Neutron Interferometry, Oxford University Press ; R. Colella, A. W. Overhauser et S. A. Werner, Physical Review Letters 34, 1472 (1975). ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/neutrons/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Helmut Rauch, Wolfgang Treimer et Ulrich Bonse construisent en 1974 le premier interféromètre à neutrons à partir d’un monocristal de silicium. En 1975, Colella, Overhauser et Werner y observent l’effet de la gravité sur la phase de la fonction d’onde d’un neutron ; la même année, deux groupes (Rauch et collègues, Werner et collègues) montrent qu’un spin 1/2 ne retrouve sa fonction d’onde initiale qu’après une rotation de \u003cmath\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003e𝜋\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e.\u003c/aside\u003e\u003cp\u003eLe montage est celui de Bonse-Hart : trois lames parallèles taillées dans un même cristal parfait diffractent les neutrons thermiques (longueur d’onde de l’ordre de 0,2 nm), et jouent le rôle de séparatrice, de miroir et de recombineur. Un échantillon d’épaisseur \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝐷\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, de densité de noyaux \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑁\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e et de longueur de diffusion cohérente \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑏\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑐\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e introduit le déphasage \u003cmath\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e|\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΔ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝜑\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e|\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝑁\u003c/mi\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑏\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑐\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmi\u003e𝜆\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝐷\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. Le neutron est sensible aux quatre interactions, d’où des tests de la gravité, de la rotation (Sagnac pour la matière) et des spineurs.\u003c/p\u003e","title":"Interféromètre à neutrons"},{"content":" Note historique. Chung Ki Hong, Zhe-Yu Ou et Leonard Mandel publient en 1987 l’expérience qui porte leur nom : deux photons issus d’une conversion paramétrique spontanée sont envoyés sur une lame séparatrice, et le taux de coïncidences entre les deux sorties s’annule quand les photons sont indiscernables.Sur une séparatrice 50/50, deux photons indiscernables arrivant chacun sur une entrée sortent toujours ensemble par la même sortie : l’amplitude où les deux photons sont transmis interfère destructivement avec celle où les deux sont réfléchis. Si l’on retarde l’un des photons de 𝜏, la probabilité de coïncidence est\n𝑃𝑐(𝜏)=1−|𝜒(𝜏)|22,(53)\noù 𝜒(𝜏) est le recouvrement des deux paquets d’onde, égal à 1 pour 𝜏=0 et décroissant sur le temps de cohérence des photons. Le creux de coïncidences a donc une largeur de l’ordre de ce temps de cohérence, ce qui permet de mesurer des retards extrêmement courts. L’effet est une brique de l’optique quantique linéaire (portes à photons, échantillonnage de bosons).\nFig. 40. – Hong-Ou-Mandel : deux photons indiscernables sortent ensemble par la même voie d’une séparatrice (à gauche), d’où un creux du taux de coïncidences en fonction du retard 𝜏 (à droite), de largeur de l’ordre du temps de cohérence 𝜏𝑐.Pour aller plus loin. C. K. Hong, Z. Y. Ou et L. Mandel, Physical Review Letters 59, 2044 (1987) ; M. Fox, Quantum Optics : An Introduction, Oxford University Press. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/hong-ou-mandel/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Chung Ki Hong, Zhe-Yu Ou et Leonard Mandel publient en 1987 l’expérience qui porte leur nom : deux photons issus d’une conversion paramétrique spontanée sont envoyés sur une lame séparatrice, et le taux de coïncidences entre les deux sorties s’annule quand les photons sont indiscernables.\u003c/aside\u003e\u003cp\u003eSur une séparatrice 50/50, deux photons indiscernables arrivant chacun sur une entrée sortent toujours ensemble par la même sortie : l’amplitude où les deux photons sont transmis interfère destructivement avec celle où les deux sont réfléchis. Si l’on retarde l’un des photons de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜏\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, la probabilité de coïncidence est\u003c/p\u003e","title":"Interférence à deux photons : Hong-Ou-Mandel"},{"content":" Note historique. Les premières interférences d’atomes sont obtenues en 1991 par plusieurs groupes presque simultanément : Carnal et Mlynek (fentes d’Young avec de l’hélium métastable), Keith, Ekstrom, Turchette et Pritchard (réseaux nanofabriqués), Riehle, Bordé et leurs collègues (franges de Ramsey-Bordé) et Kasevich et Chu (impulsions Raman stimulées). L’interféromètre de Kasevich et Chu sert en 1999 à mesurer l’accélération de la pesanteur avec une précision relative de l’ordre de 3⋅10−9 (Peters, Chung et Chu).Des atomes froids en chute libre reçoivent trois impulsions laser 𝜋/2−𝜋−𝜋/2 séparées de 𝑇 : elles jouent le rôle de séparatrice, de miroir et de recombineur d’un Mach-Zehnder atomique. Le déphasage dû à la pesanteur est\nGravimètre atomique\nΔ𝜑=𝑘eff𝑔𝑇2,𝑘eff≃2𝑘(54)\nPour 𝜆=780 nm et 𝑇=0,1 s, Δ𝜑≃1,6⋅106 rad : une mesure de phase à 10−3 près donne 𝑔 à 10−9 près en valeur relative. Applications : gravimétrie, gradiométrie, mesure de constantes fondamentales, gyromètres atomiques.\nFig. 41. – Gravimètre atomique à trois impulsions 𝜋/2−𝜋−𝜋/2. À gauche : diagramme espace-temps dans le référentiel en chute libre, où les deux bras (bleu et rouge) se séparent puis se recombinent. À droite : le nuage d’atomes froids tombe dans les faisceaux Raman verticaux, qu’un miroir renvoie. La phase mesurée est Δ𝜑=𝑘eff𝑔𝑇2.Pour aller plus loin. M. Kasevich et S. Chu, Physical Review Letters 67, 181 (1991) ; A. D. Cronin, J. Schmiedmayer et D. E. Pritchard, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009). ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/interferometrie-atomique/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Les premières interférences d’atomes sont obtenues en 1991 par plusieurs groupes presque simultanément : Carnal et Mlynek (fentes d’Young avec de l’hélium métastable), Keith, Ekstrom, Turchette et Pritchard (réseaux nanofabriqués), Riehle, Bordé et leurs collègues (franges de Ramsey-Bordé) et Kasevich et Chu (impulsions Raman stimulées). L’interféromètre de Kasevich et Chu sert en 1999 à mesurer l’accélération de la pesanteur avec une précision relative de l’ordre de \u003cmath\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo lspace=\"0.2222222222222222em\" rspace=\"0.2222222222222222em\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e10\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e9\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/math\u003e (Peters, Chung et Chu).\u003c/aside\u003e\u003cp\u003eDes atomes froids en chute libre reçoivent trois impulsions laser \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜋\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝜋\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝜋\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e séparées de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑇\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e : elles jouent le rôle de séparatrice, de miroir et de recombineur d’un Mach-Zehnder atomique. Le déphasage dû à la pesanteur est\u003c/p\u003e","title":"Interférométrie atomique"},{"content":" Note historique. Les premiers condensats de Bose-Einstein de gaz dilués sont obtenus en 1995 (JILA avec le rubidium, MIT avec le sodium ; prix Nobel 2001 pour Cornell, Wieman et Ketterle). En 1997, Andrews, Ketterle et leurs collègues observent des franges d’interférence entre deux condensats de sodium séparés, sans séparatrice : c’est la première mise en évidence directe de la cohérence de phase d’un gaz d’atomes, analogue à celle d’un laser.Deux condensats initialement séparés de 𝑑 sont relâchés et se recouvrent en expansion : ils interfèrent avec l’interfrange 𝑖=ℎ𝑡/(𝑚𝑑) après un temps de vol 𝑡. Pour le sodium (𝑚=3,8⋅10−26 kg), 𝑑=40 µm et 𝑡=40 ms, on trouve 𝑖≃17 µm, visible directement par imagerie d’absorption. La position des franges varie d’une réalisation à l’autre : la phase relative n’est pas fixée au départ et n’apparaît qu’à la mesure.\nFig. 42. – Interférence de deux condensats de Bose-Einstein : (a) deux condensats séparés de 𝑑 ; (b) lâchés, ils s’étalent pendant le temps de vol 𝑡 ; (c) en se recouvrant, ils forment des franges d’interfrange 𝑖=ℎ𝑡/(𝑚𝑑).Pour aller plus loin. M. R. Andrews et al., Science 275, 637 (1997) ; L. Pitaevskii et S. Stringari, Bose-Einstein Condensation, Oxford University Press. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/condensats-bose-einstein/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Les premiers condensats de Bose-Einstein de gaz dilués sont obtenus en 1995 (JILA avec le rubidium, MIT avec le sodium ; prix Nobel 2001 pour Cornell, Wieman et Ketterle). En 1997, Andrews, Ketterle et leurs collègues observent des franges d’interférence entre deux condensats de sodium séparés, sans séparatrice : c’est la première mise en évidence directe de la cohérence de phase d’un gaz d’atomes, analogue à celle d’un laser.\u003c/aside\u003e\u003cp\u003eDeux condensats initialement séparés de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑑\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e sont relâchés et se recouvrent en expansion : ils interfèrent avec l’interfrange \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑖\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eℎ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑡\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003e𝑚\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑑\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e après un temps de vol \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑡\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. Pour le sodium (\u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑚\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e3,8\u003c/mtext\u003e\u003cmo lspace=\"0.2222222222222222em\" rspace=\"0.2222222222222222em\"\u003e⋅\u003c/mo\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e10\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e−\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e26\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup\u003e\u003c/math\u003e kg), \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑑\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e40\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e µm et \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑡\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e40\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e ms, on trouve \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑖\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e≃\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e17\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e µm, visible directement par imagerie d’absorption. La position des franges varie d’une réalisation à l’autre : la phase relative n’est pas fixée au départ et n’apparaît qu’à la mesure.\u003c/p\u003e","title":"Interférences de condensats de Bose-Einstein"},{"content":" Note historique. Henry Fox Talbot observe en 1836 que la lumière diffractée par un réseau reforme l’image du réseau à des distances régulières. Ernst Lau montre en 1948 que le phénomène persiste avec une source étendue qui éclaire un second réseau. Clauser et Li réalisent en 1994 un interféromètre à atomes sur ce principe, et l’équipe d’Arndt (Vienne) l’applique à des molécules : C70 en 2002, puis des molécules de plus de 25 000 unités de masse atomique en 2019.Un réseau de pas 𝑑 éclairé par une onde de longueur d’onde 𝜆 reforme son image à la distance de Talbot 𝐿𝑇=2𝑑2/𝜆. Trois réseaux séparés de 𝐿𝑇 forment un interféromètre qui ne demande pas de source spatialement cohérente (effet Lau), ce qui convient aux jets de molécules, peu cohérents. Pour une molécule de 1000 u à 100 m/s, 𝜆≃4 pm ; avec des réseaux de pas 𝑑=266 nm, 𝐿𝑇≃3,5 cm.\nFig. 43. – Interféromètre de Talbot-Lau : trois réseaux de même pas 𝑑, séparés de la distance de Talbot 𝐿𝑇, sont traversés par un jet de molécules. Le nombre de molécules détectées varie périodiquement, avec la période 𝑑, quand on translate le troisième réseau.Pour aller plus loin. J. F. Clauser et S. Li, Physical Review A 49, R2213 (1994) ; K. Hornberger et al., Reviews of Modern Physics 84, 157 (2012). ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/talbot-lau/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Henry Fox Talbot observe en 1836 que la lumière diffractée par un réseau reforme l’image du réseau à des distances régulières. Ernst Lau montre en 1948 que le phénomène persiste avec une source étendue qui éclaire un second réseau. Clauser et Li réalisent en 1994 un interféromètre à atomes sur ce principe, et l’équipe d’Arndt (Vienne) l’applique à des molécules : C\u003csub\u003e70\u003c/sub\u003e en 2002, puis des molécules de plus de 25 000 unités de masse atomique en 2019.\u003c/aside\u003e\u003cp\u003eUn réseau de pas \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑑\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e éclairé par une onde de longueur d’onde \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜆\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e reforme son image à la distance de Talbot \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝐿\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑇\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmi\u003e𝑑\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝜆\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. Trois réseaux séparés de \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝐿\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑇\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e forment un interféromètre qui ne demande pas de source spatialement cohérente (effet Lau), ce qui convient aux jets de molécules, peu cohérents. Pour une molécule de 1000 u à 100 m/s, \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜆\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e≃\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e pm ; avec des réseaux de pas \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑑\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e266\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e nm, \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝐿\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑇\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e≃\u003c/mo\u003e\u003cmtext\u003e3,5\u003c/mtext\u003e\u003c/math\u003e cm.\u003c/p\u003e","title":"Interférométrie de molécules (Talbot-Lau)"},{"content":" Note historique. Webb et ses collègues (IBM, 1985) observent des oscillations de la conductance d’un anneau métallique en fonction du flux magnétique, de période ℎ/𝑒 : c’est l’effet Aharonov-Bohm dans un conducteur mésoscopique. En 2003, Ji, Heiblum et leurs collègues réalisent un interféromètre de Mach-Zehnder pour électrons à partir des canaux de bord de l’effet Hall quantique entier.À très basse température (quelques dizaines de millikelvin), la longueur de cohérence de phase des électrons dépasse le micromètre : on peut faire interférer deux chemins d’un anneau, et la conductance oscille avec la période Φ0=ℎ/𝑒 du flux. Dans le Mach-Zehnder électronique, les canaux de bord de l’effet Hall quantique, qui circulent dans un seul sens, sont les bras de l’interféromètre, et des contacts ponctuels quantiques jouent le rôle de séparatrices.\nFig. 44. – Interféromètre de Mach-Zehnder électronique : les canaux de bord de l’effet Hall quantique (bras bleu et rouge) sont séparés et recombinés par deux contacts ponctuels quantiques. Le courant mesuré en 𝐷1 oscille avec le flux Φ enfermé entre les deux chemins, avec la période Φ0=ℎ/𝑒.Pour aller plus loin. R. A. Webb et al., Physical Review Letters 54, 2696 (1985) ; Y. Ji et al., Nature 422, 415 (2003). ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/electrons-matiere-condensee/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Webb et ses collègues (IBM, 1985) observent des oscillations de la conductance d’un anneau métallique en fonction du flux magnétique, de période \u003cmath\u003e\u003cmi\u003eℎ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑒\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e : c’est l’effet Aharonov-Bohm dans un conducteur mésoscopique. En 2003, Ji, Heiblum et leurs collègues réalisent un interféromètre de Mach-Zehnder pour électrons à partir des canaux de bord de l’effet Hall quantique entier.\u003c/aside\u003e\u003cp\u003eÀ très basse température (quelques dizaines de millikelvin), la longueur de cohérence de phase des électrons dépasse le micromètre : on peut faire interférer deux chemins d’un anneau, et la conductance oscille avec la période \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΦ\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eℎ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑒\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e du flux. Dans le Mach-Zehnder électronique, les canaux de bord de l’effet Hall quantique, qui circulent dans un seul sens, sont les bras de l’interféromètre, et des contacts ponctuels quantiques jouent le rôle de séparatrices.\u003c/p\u003e","title":"Interféromètres électroniques en matière condensée"},{"content":" Note historique. John Wheeler propose à la fin des années 1970 l’expérience du choix retardé : on décide de refermer ou non un Mach-Zehnder après que le photon a passé la première séparatrice. Elle est réalisée en 2007 par Jacques, Roch, Aspect, Grangier et leurs collègues. En 1993, Avshalom Elitzur et Lev Vaidman décrivent la mesure sans interaction (« test de la bombe »), réalisée en 1995 par Kwiat et ses collègues.Choix retardé. Dans un Mach-Zehnder à photon unique, la seconde séparatrice est soit présente (on observe des franges), soit absente (on sait par quel bras le photon est passé). Quand le choix est fait après la première séparatrice, le résultat ne dépend que de ce choix final : le photon ne peut pas avoir « décidé » à l’avance s’il se comporte en onde ou en particule.\nMesure sans interaction. On place un objet absorbant dans un bras d’un Mach-Zehnder réglé pour qu’un des détecteurs reste sombre à vide. Si ce détecteur se déclenche, l’objet est présent alors que le photon n’a pas été absorbé : avec un interféromètre équilibré, cela arrive avec la probabilité 1/4, contre 1/2 pour l’absorption. Des cycles successifs (effet Zeno quantique) améliorent fortement cette efficacité.\nFig. 45. – Mach-Zehnder à photon unique. (a) Choix retardé : la seconde séparatrice 𝐵𝑆2 est insérée ou retirée après le passage du photon dans 𝐵𝑆1. (b) Mesure sans interaction : un objet absorbant dans un bras ; si 𝐷1, sombre à vide, se déclenche, l’objet est présent sans que le photon ait été absorbé.Pour aller plus loin. V. Jacques et al., Science 315, 966 (2007) ; A. C. Elitzur et L. Vaidman, Foundations of Physics 23, 987 (1993). ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/photon-unique/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e John Wheeler propose à la fin des années 1970 l’expérience du choix retardé : on décide de refermer ou non un Mach-Zehnder après que le photon a passé la première séparatrice. Elle est réalisée en 2007 par Jacques, Roch, Aspect, Grangier et leurs collègues. En 1993, Avshalom Elitzur et Lev Vaidman décrivent la mesure sans interaction (« test de la bombe »), réalisée en 1995 par Kwiat et ses collègues.\u003c/aside\u003e\u003cp\u003e\u003cstrong\u003eChoix retardé.\u003c/strong\u003e Dans un Mach-Zehnder à photon unique, la seconde séparatrice est soit présente (on observe des franges), soit absente (on sait par quel bras le photon est passé). Quand le choix est fait après la première séparatrice, le résultat ne dépend que de ce choix final : le photon ne peut pas avoir « décidé » à l’avance s’il se comporte en onde ou en particule.\u003c/p\u003e","title":"Photon unique : choix retardé et mesure sans interaction"},{"content":" Note historique. Hippolyte Fizeau propose en 1868 de mesurer le diamètre angulaire des étoiles par interférences. Michelson applique l’idée en 1891 aux satellites de Jupiter, puis, avec Pease en 1920, à Bételgeuse sur le télescope de 2,5 m du mont Wilson : premier diamètre stellaire mesuré.5.1.1 PrincipeInterférences par division du front d’onde, comme les fentes d’Young : l’étoile, à l’infini, envoie un front d’onde quasi plan. Les miroirs extérieurs 𝑀1 et 𝑀2, écartés de 𝐷, en prélèvent deux portions et, via 𝑀3 et 𝑀4, envoient les deux faisceaux dans l’objectif d’un télescope, où ils interfèrent. Les trajets 𝑀1𝑀3 et 𝑀2𝑀4 ont la même longueur : pour une étoile dans l’axe, la différence de marche est nulle.\nFig. 46. – Interféromètre stellaire de Michelson (vue de dessus, schématique). L’étoile n’est pas ponctuelle : chaque point donne son propre système de franges, décalé selon sa direction. Leur somme a un contraste réduit, d’autant plus que 𝐷 est grand.5.1.2 Deux distances, deux rôlesLa distance 𝑎 entre 𝑀3 et 𝑀4 est fixe : c’est elle qui joue le rôle de la distance entre fentes d’Young et fixe l’interfrange dans le plan focal de l’objectif, de focale 𝑓 :\n𝑖=𝜆𝑓𝑎.(55)\nLa distance 𝐷 entre 𝑀1 et 𝑀2 se règle en écartant symétriquement les miroirs extérieurs. Elle ne change pas l’interfrange mais la sensibilité du montage à la taille de l’étoile : c’est la base de l’interféromètre.\n5.1.3 Décalage des franges selon la directionPour un point de l’étoile vu dans la direction 𝛼 (petit angle par rapport à l’axe, dans le plan des miroirs), le front d’onde atteint 𝑀1 et 𝑀2 avec un retard relatif 𝛿=𝐷𝛼. Les trajets suivants étant égaux, cette différence de marche s’ajoute à celle de la position 𝑥 dans le plan focal :\n𝐼𝛼(𝑥)=2𝐼0(1+cos(2𝜋(𝑥𝑖+𝐷𝛼𝜆))).(56)\nUn point hors de l’axe donne donc les mêmes franges, décalées de Δ𝑥=𝑖𝐷𝛼/𝜆 : deux points de l’étoile donnent des systèmes de franges décalés l’un par rapport à l’autre.\n5.1.4 Contraste des frangesLes points d’une étoile sont incohérents entre eux : on additionne les éclairements de ces systèmes de franges. Si 𝐵(𝛼) est la brillance angulaire de l’étoile, normalisée par ∫𝐵(𝛼)d𝛼=1,\n𝐼(𝑥)=2𝐼0∫𝐵(𝛼)[1+cos(2𝜋(𝑥𝑖+𝐷𝛼𝜆))]d𝛼=2𝐼0[1+𝐶cos(2𝜋𝑥𝑖+𝜑)],(57)\navec𝐶𝑒𝑗𝜑=∫𝐵(𝛼)𝑒𝑗2𝜋𝐷𝛼/𝜆d𝛼(𝑗2=−1).(58)\nLe contraste 𝐶=(𝐼max−𝐼min)/(𝐼max+𝐼min) (ou visibilité des franges) est donc le module de la transformée de Fourier de 𝐵 à la fréquence spatiale 𝐷/𝜆 : c’est le théorème de Van Cittert-Zernike. Trois cas :\nDeux étoiles identiques, séparées de Δ𝜃 : 𝐵 est la somme de deux pics en ±Δ𝜃/2, d’où 𝐶𝑒𝑗𝜑=cos(𝜋𝐷Δ𝜃/𝜆) et 𝐶=|cos(𝜋𝐷Δ𝜃/𝜆)|, qui s’annule pour 𝐷=𝜆/(2Δ𝜃).\nBande uniforme de largeur angulaire 𝜃 (𝐵=1/𝜃 sur [−𝜃/2,𝜃/2]) :\n𝐶𝑒𝑗𝜑=1𝜃∫−𝜃/2𝜃/2𝑒𝑗2𝜋𝐷𝛼/𝜆d𝛼=sin(𝜋𝐷𝜃/𝜆)𝜋𝐷𝜃/𝜆,(59)\ndonc 𝐶=|sinc(𝜋𝐷𝜃/𝜆)|, qui s’annule pour 𝐷=𝜆/𝜃.\nDisque uniforme de diamètre angulaire 𝜃 : le même calcul en deux dimensions (la largeur du disque dans la direction perpendiculaire à la base vaut 1−(2𝛼/𝜃)2 à un facteur près) fait apparaître une fonction de Bessel.\nDisque uniforme\n𝐶(𝐷)=|2𝐽1(𝜋𝜃𝐷/𝜆)𝜋𝜃𝐷/𝜆|(60)\noù 𝐽1 est la fonction de Bessel d’ordre 1. La première annulation, en 𝜋𝜃𝐷/𝜆≃3,83, donne 𝐷=1,22𝜆/𝜃, d’où le diamètre angulaire 𝜃 de l’étoile.\nFig. 47. – Contraste en fonction de 𝑢=𝐷𝜃/𝜆 : plus l’étoile est étendue, plus le contraste chute vite avec la base 𝐷.Application à Bételgeuse. Michelson et Pease observent à 𝜆≃575 nm la disparition des franges pour 𝐷≃3,1 m, soit 𝜃=1,22𝜆/𝐷≃2,3⋅10−7 rad, c’est-à-dire environ 0,047 seconde d’arc.\nLimites. Le montage doit rester stable à une fraction de longueur d’onde sur plusieurs mètres, et la turbulence atmosphérique brouille les franges : la base reste de quelques mètres. Pour aller plus loin, on sépare davantage les télescopes (interférométrie à longue base).\nPour aller plus loin. A. A. Michelson et F. G. Pease, Astrophysical Journal 53, 249 (1921) ; M. Born et E. Wolf, Principles of Optics, Cambridge University Press ; E. Hecht, Optique, Pearson. ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/michelson-stellaire/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Hippolyte Fizeau propose en 1868 de mesurer le diamètre angulaire des étoiles par interférences. Michelson applique l’idée en 1891 aux satellites de Jupiter, puis, avec Pease en 1920, à Bételgeuse sur le télescope de 2,5 m du mont Wilson : premier diamètre stellaire mesuré.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"5-1-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e5.1.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eInterférences par \u003cstrong\u003edivision du front d’onde\u003c/strong\u003e, comme les fentes d’Young : l’étoile, à l’infini, envoie un front d’onde quasi plan. Les miroirs extérieurs \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑀\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e et \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑀\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e, écartés de \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝐷\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, en prélèvent deux portions et, via \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑀\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e et \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑀\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e, envoient les deux faisceaux dans l’objectif d’un télescope, où ils interfèrent. Les trajets \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑀\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑀\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e et \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑀\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝑀\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e ont la même longueur : pour une étoile dans l’axe, la différence de marche est nulle.\u003c/p\u003e","title":"Interféromètre stellaire de Michelson"},{"content":" Note historique. Rainer Weiss propose dès les années 1970 un interféromètre de Michelson à grands bras pour détecter les ondes gravitationnelles prévues par Einstein en 1916. Les deux détecteurs LIGO sont construits à Hanford (État de Washington) et à Livingston (Louisiane). Le 14 septembre 2015, ils enregistrent GW150914, la fusion de deux trous noirs de 36 et 29 masses solaires situés à environ 1,3 milliard d’années-lumière : c’est la première détection directe d’une onde gravitationnelle. Weiss, Barish et Thorne reçoivent le prix Nobel de physique en 2017.5.4.1 PrincipeLIGO est un interféromètre de Michelson dont les deux bras, perpendiculaires, mesurent environ 4 km. Une onde gravitationnelle de passage déforme l’espace transversalement à sa direction de propagation : elle allonge un bras et raccourcit l’autre. Si ℎ est la déformation relative (sans dimension), les deux bras varient de ±ℎ𝐿/2 et la différence de longueur vaut Δ𝐿=ℎ𝐿. On règle le Michelson sur la frange sombre : le signal est lu sur le port de sortie, sombre au repos, où l’éclairement varie comme sin2(Δ𝜑/2) avec\nΔ𝜑=4𝜋𝜆(𝐿1−𝐿2)=4𝜋ℎ𝐿𝜆.(61)\nFig. 48. – Configuration optique d’Advanced LIGO (bras non à l’échelle). Chaque bras est une cavité Fabry-Perot entre un miroir d’entrée (ITM) et un miroir de fond (ETM) ; les miroirs de recyclage renvoient vers l’interféromètre la lumière qui retournerait vers le laser et celle du signal.Signal attendu\nℎ∼10−21⟹Δ𝐿=ℎ𝐿∼4⋅10−18 m(62)\nsoit une variation de longueur bien plus petite qu’un proton. Avec 𝜆=1064 nm et 𝐿=4 km, un Michelson simple donnerait Δ𝜑∼5⋅10−11 rad.\n5.4.2 Gagner en sensibilitéCavités Fabry-Perot dans les bras. Chaque bras est une cavité résonnante de finesse ℱ︀=450 : la lumière y fait en moyenne 2ℱ︀/𝜋∼290 allers-retours, ce qui multiplie le déphasage par le même facteur :\nΔ𝜑=2ℱ︀𝜋⋅4𝜋ℎ𝐿𝜆=8ℱ︀ℎ𝐿𝜆∼10−8 rad.(63)\nRecyclage de puissance. À la frange sombre, presque toute la lumière retourne vers le laser. Un miroir de recyclage placé devant la séparatrice la renvoie dans l’interféromètre, ce qui multiplie la puissance utile : quelques dizaines de watts en entrée donnent environ 100 kW dans les cavités des bras.\nRecyclage du signal. Un miroir placé sur la sortie élargit la bande de fréquence du détecteur.\nMasses d’épreuve isolées. Les miroirs, en silice, pèsent 40 kg et sont suspendus à des pendules à quatre étages, dans un ultravide, pour isoler l’interféromètre des vibrations du sol.\nFig. 49. – Allure du signal d’une fusion de deux objets compacts (schématique, type GW150914) : de 35 à 250 Hz en un cinquième de seconde environ.5.4.3 Bruits et réseau de détecteursLa sensibilité est limitée par le bruit sismique en dessous de 10 Hz, par le bruit thermique des miroirs et de leurs suspensions aux fréquences moyennes, et par le bruit quantique : bruit de photon à haute fréquence (le déphasage minimal détectable varie comme 1/𝑃) et pression de radiation à basse fréquence. Le détecteur est le plus sensible vers 100 à 300 Hz.\nLIGO fonctionne en réseau avec Virgo (Cascina, en Italie, bras de 3 km) et KAGRA (au Japon) : la comparaison des instants d’arrivée localise la source sur le ciel. En 2017, l’onde GW170817, produite par la fusion de deux étoiles à neutrons, a été suivie d’un signal électromagnétique observé par de nombreux télescopes.\nEn résumé : LIGO est un Michelson de 4 km réglé sur la frange sombre, qui mesure Δ𝐿=ℎ𝐿∼10−18 m grâce à des cavités Fabry-Perot de finesse 450, au recyclage de puissance et à l’isolation des miroirs : le déphasage vaut Δ𝜑=8ℱ︀ℎ𝐿/𝜆∼10−8 rad.Pour aller plus loin. B. P. Abbott et al., Physical Review Letters 116, 061102 (2016) ; J. Aasi et al. (LIGO Scientific Collaboration), Classical and Quantum Gravity 32, 074001 (2015). ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/interferometres/ligo/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#f5f5f5;--filet:#8c8c8c\"\u003e\u003cstrong\u003eNote historique.\u003c/strong\u003e Rainer Weiss propose dès les années 1970 un interféromètre de Michelson à grands bras pour détecter les ondes gravitationnelles prévues par Einstein en 1916. Les deux détecteurs LIGO sont construits à Hanford (État de Washington) et à Livingston (Louisiane). Le 14 septembre 2015, ils enregistrent GW150914, la fusion de deux trous noirs de 36 et 29 masses solaires situés à environ 1,3 milliard d’années-lumière : c’est la première détection directe d’une onde gravitationnelle. Weiss, Barish et Thorne reçoivent le prix Nobel de physique en 2017.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"5-4-1-principe\"\u003e\u003cstrong\u003e5.4.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrincipe\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eLIGO est un \u003cstrong\u003einterféromètre de Michelson\u003c/strong\u003e dont les deux bras, perpendiculaires, mesurent environ 4 km. Une onde gravitationnelle de passage déforme l’espace transversalement à sa direction de propagation : elle allonge un bras et raccourcit l’autre. Si \u003cmath\u003e\u003cmi\u003eℎ\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e est la déformation relative (sans dimension), les deux bras varient de \u003cmath\u003e\u003cmo\u003e±\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eℎ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝐿\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e et la différence de longueur vaut \u003cmath\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΔ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝐿\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003eℎ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝐿\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e. On règle le Michelson sur la \u003cstrong\u003efrange sombre\u003c/strong\u003e : le signal est lu sur le port de sortie, sombre au repos, où l’éclairement varie comme \u003cmath\u003e\u003cmsup\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmtext\u003esin\u003c/mtext\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/msup\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi mathvariant=\"normal\"\u003eΔ\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝜑\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e avec\u003c/p\u003e","title":"LIGO"},{"content":" Aloïs Coquillard · October 2026\n1 Enthalpie libre et potentiel chimique1.1 Définition de l’enthalpie libre et du potentiel chimique1.2 Propriétés du potentiel chimique2 Activité chimique, constante de réaction2.1 Potentiel chimique et réaction chimique2.2 Constante de réaction et quotient réactionnel3 Activité chimique dans des mélanges réels3.1 Gaz parfait3.2 Gaz de Van der Waals3.3 Solide3.4 Solvant3.5 Soluté infiniment dilué ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/chimie/activite-chimique/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003cp\u003eAloïs Coquillard · October 2026\u003c/p\u003e\u003ch2 id=\"1-enthalpie-libre-et-potentiel-chimique\"\u003e\u003cstrong\u003e1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eEnthalpie libre et potentiel chimique\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003ch3 id=\"1-1-definition-de-lenthalpie-libre-et-du-potentiel-chimique\"\u003e\u003cstrong\u003e1.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eDéfinition de l\u003c/strong\u003e’\u003cstrong\u003eenthalpie libre et du potentiel chimique\u003c/strong\u003e\u003c/h3\u003e\u003ch3 id=\"1-2-proprietes-du-potentiel-chimique\"\u003e\u003cstrong\u003e1.2 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePropriétés du potentiel chimique\u003c/strong\u003e\u003c/h3\u003e\u003ch2 id=\"2-activite-chimique-constante-de-reaction\"\u003e\u003cstrong\u003e2 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eActivité chimique, constante de réaction\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003ch3 id=\"2-1-potentiel-chimique-et-reaction-chimique\"\u003e\u003cstrong\u003e2.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePotentiel chimique et réaction chimique\u003c/strong\u003e\u003c/h3\u003e\u003ch3 id=\"2-2-constante-de-reaction-et-quotient-reactionnel\"\u003e\u003cstrong\u003e2.2 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eConstante de réaction et quotient réactionnel\u003c/strong\u003e\u003c/h3\u003e\u003ch2 id=\"3-activite-chimique-dans-des-melanges-reels\"\u003e\u003cstrong\u003e3 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eActivité chimique dans des mélanges réels\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003ch3 id=\"3-1-gaz-parfait\"\u003e\u003cstrong\u003e3.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eGaz parfait\u003c/strong\u003e\u003c/h3\u003e\u003ch3 id=\"3-2-gaz-de-van-der-waals\"\u003e\u003cstrong\u003e3.2 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eGaz de Van der Waals\u003c/strong\u003e\u003c/h3\u003e\u003ch3 id=\"3-3-solide\"\u003e\u003cstrong\u003e3.3 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eSolide\u003c/strong\u003e\u003c/h3\u003e\u003ch3 id=\"3-4-solvant\"\u003e\u003cstrong\u003e3.4 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eSolvant\u003c/strong\u003e\u003c/h3\u003e\u003ch3 id=\"3-5-solute-infiniment-dilue\"\u003e\u003cstrong\u003e3.5 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eSoluté infiniment dilué\u003c/strong\u003e\u003c/h3\u003e\n\u003c/div\u003e","title":"Activité chimique"},{"content":" D’après S. H. Simon, The Oxford Solid State Basics, Oxford University Press, 2019,\net Le Cours de physique de Feynman, tome III : Mécanique quantique, chap. 14., Dunod, 2021.\nL’essentiel à retenir\nÀ rédiger en dernier ; pas encore écrit.1 Notations et rappels1.1 Conduction électrique classique : le modèle de DrudeEn 1900, Drude propose un modèle cinétique de la conduction électrique, qui rend compte de la résistivité des métaux.\nModèle de Drude\nLes électrons de conduction forment un gaz libre, qui subit des collisions avec les noyaux, de probabilité 1/𝜏 par unité de temps.Le modèle repose sur trois hypothèses : les électrons n’interagissent ni entre eux ni avec le potentiel des ions entre deux collisions ; les collisions sont instantanées, et après chaque collision la vitesse moyenne est nulle ; la statistique est classique.\nRemarque. Le temps de relaxation 𝜏 dépend de la température (vibrations du réseau) et de la concentration en défauts, mais, dans le modèle, il ne dépend pas du champ 𝐄.Force de frottement. On postule une force linéaire 𝐅𝑓=−Γ𝐯, où Γ est un coefficient en kg·s⁻¹. L’électron vérifie alors\n𝑚𝑑𝐯𝑑𝑡=−𝑒𝐄−Γ𝐯.(1)\nPendant 𝑑𝑡, chaque électron subit une collision avec la probabilité 𝑑𝑡/𝜏, ce qui donne pour la quantité de mouvement moyenne 𝑑⟨𝐩⟩/𝑑𝑡=−𝑒𝐄−⟨𝐩⟩/𝜏. En comparant à (1), avec 𝐩=𝑚𝐯, on obtient Γ=𝑚/𝜏. Ce coefficient est positif ; le signe −1/𝜏 n’apparaît que pour 𝐯 seule, après division par 𝑚. On retrouve l’équation\n𝑚𝑑𝐯𝑑𝑡=−𝑒𝐄−𝑚𝐯𝜏.(2)\nEn régime permanent, avec 𝑛 électrons par unité de volume, 𝐣=−𝑛𝑒𝐯 donne la loi d’Ohm :\n𝐣=𝛾𝐄avec𝛾=𝑛𝑒2𝜏𝑚.(3)\nOrdres de grandeur (cuivre). Avec 𝑛≈8.5×1028,m−3 et 𝜏≈2.5×10−14,s, la relation (3) donne 𝛾≈6×107,S·m−1, valeur correcte. Avec la vitesse de Fermi 𝑣𝐹≈1.6×106,m·s−1, le libre parcours moyen est ℓ=𝑣𝐹𝜏≈40nm.\nLe modèle explique la loi d’Ohm, ainsi que l’augmentation de la résistivité avec la température : quand l’agitation du réseau augmente, 𝜏 diminue, donc 𝛾 diminue.\n1.2 Échec du modèle classique et description quantiqueChacun des échecs de Drude tient à l’absence de structure en bandes et de statistique quantique :\nChaleur spécifique. Seuls les électrons voisins de 𝐸𝐹 peuvent être excités par l’agitation thermique. Leur contribution est réduite à (𝜋2/2)𝑇/𝑇𝐹 de la valeur classique, soit environ 2 % pour le cuivre à température ambiante.Semi-conducteurs. Les électrons de valence remplissent une bande entière, séparée de la suivante par un gap 𝐸𝑔. Pour le silicium, 𝐸𝑔≈1.1 eV : seuls quelques électrons franchissent le gap, avec 𝑛𝑖≈1016,m−3. Comme 𝛾∝exp(−𝐸𝑔/2𝑘𝐵𝑇), la conductivité croît avec 𝑇.Isolants. Même mécanisme, avec un gap plus large : pour le diamant, 𝐸𝑔≈5.5 eV, et exp(−𝐸𝑔/2𝑘𝐵𝑇) est négligeable à 300 K.Effet Hall. Une bande presque pleine se comporte comme des porteurs de charge positive, les trous.Ces points sont développés dans les sections suivantes.\nEn résumé : Drude rend compte de la conduction des métaux, mais suppose 𝑛 fixé et ignore la structure en bandes. Les semi-conducteurs et les isolants s’expliquent par le gap et la statistique quantique.2 Des niveaux atomiques aux bandes d’énergie2.1 Atome isoléPour un atome isolé, les états stationnaires d’un électron sont solutions de l’équation de Schrödinger :\n𝐻𝜓=𝐸𝜓,avec𝐻=𝑝22𝑚+𝑉(𝑟).(4)\nLe potentiel 𝑉(𝑟) est celui du noyau : seules certaines valeurs de l’énergie sont alors admises. Le spectre est donc discret, 𝐸1\u0026lt;𝐸2\u0026lt;…, et chaque état est repéré par des nombres quantiques 𝑛, 𝑙, 𝑚𝑙 et 𝑚𝑠.\nLe principe de Pauli impose que deux électrons ne peuvent pas occuper le même état quantique. Pour une orbitale donnée, il n’y a donc place que pour deux électrons, de spins opposés. Les électrons remplissent les états par énergie croissante, ce qui définit la configuration électronique de l’atome.\nPar exemple, le silicium (𝑍=14) a pour configuration 1𝑠22𝑠22𝑝63𝑠23𝑝2. Les électrons de cœur, en 1s, 2s et 2p, sont fortement liés au noyau. Les quatre électrons de valence, en 3s et 3p, déterminent les liaisons et les propriétés de conduction. Le carbone et le germanium en ont aussi quatre, ce qui explique leur comportement comparable dans la même colonne du tableau périodique.\n2.2 Couplage des atomes2.3 Cristal et théorème de Bloch2.4 Remplissage et niveau de Fermi2.5 Classification des matériaux2.6 Semi-conducteur intrinsèqueEn résumé : À rédiger.3 Dopage et jonction PN3.1 Donneurs et accepteurs3.2 Porteurs majoritaires et minoritaires3.3 Formation de la jonction3.4 Polarisation et caractéristiqueEn résumé : À rédiger.4 Le transistor bipolaire4.1 Effet transistor4.2 Régimes de fonctionnementEn résumé : À rédiger.5 Les transistors à effet de champ5.1 Le JFET5.2 Le MOSFETEn résumé : À rédiger.6 SynthèseÀ retenir :\nÀ rédiger : les grandeurs qui distinguent les composants.\nDiodeBJTMOSFETCommandetensioncourant de basetension de grillePrincipejonction PNinjection dans la basecanal induitExemple typeredresseuramplificateurcommutateur\n","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/electronique/semi-conducteurs/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003cp\u003eD’après S. H. Simon, \u003cem\u003eThe Oxford Solid State Basics\u003c/em\u003e, Oxford University Press, 2019,\u003cbr\u003eet \u003cem\u003eLe Cours de physique de Feynman, tome III : Mécanique quantique\u003c/em\u003e, chap. 14., Dunod, 2021.\u003c/p\u003e\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#eaf1f8;--filet:#1f4e79\"\u003e\u003cspan class=\"couleur\" style=\"--couleur:#1f4e79\"\u003e\u003cstrong\u003eL\u003c/strong\u003e\u003c/span\u003e’\u003cspan class=\"couleur\" style=\"--couleur:#1f4e79\"\u003e\u003cstrong\u003eessentiel à retenir\u003c/strong\u003e\u003c/span\u003e\u003cbr\u003eÀ rédiger en dernier ; pas encore écrit.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"1-notations-et-rappels\"\u003e\u003cstrong\u003e1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eNotations et rappels\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003ch3 id=\"1-1-conduction-electrique-classique-le-modele-de-drude\"\u003e\u003cstrong\u003e1.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eConduction électrique classique\u003c/strong\u003e \u003cstrong\u003e:\u003c/strong\u003e \u003cstrong\u003ele modèle de Drude\u003c/strong\u003e\u003c/h3\u003e\u003cp\u003eEn 1900, Drude propose un modèle cinétique de la conduction électrique, qui rend compte de la résistivité des métaux.\u003c/p\u003e\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#eaf1f8;--filet:#1f4e79\"\u003e\u003cspan class=\"couleur\" style=\"--couleur:#1f4e79\"\u003e\u003cstrong\u003eModèle de Drude\u003c/strong\u003e\u003c/span\u003e\u003cbr\u003eLes électrons de conduction forment un gaz libre, qui subit des collisions avec les noyaux, de probabilité \u003cmath\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝜏\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e par unité de temps.\u003c/aside\u003e\u003cp\u003eLe modèle repose sur trois hypothèses : les électrons n’interagissent ni entre eux ni avec le potentiel des ions entre deux collisions ; les collisions sont instantanées, et après chaque collision la vitesse moyenne est nulle ; la statistique est classique.\u003c/p\u003e","title":"Les composants à semi-conducteur"},{"content":" D’après ?\nL’essentiel à retenir\nÀ rédiger en dernier. Idée directrice : un laser est un amplificateur (milieu à gain) placé dans une boucle de rétroaction positive (cavité). Il oscille dès que le gain par aller-retour compense les pertes.1 Description schématique du laser1.1 Le laser comme oscillateurL’idée initiale du laser se rapproche assez bien du principe d’un oscillateur à rétroaction, utilisé en électronique pour générer des signaux de fréquence variable et de faible distorsion depuis les années 1930. Le principe est d’avoir un amplificateur capable d’augmenter le gain d’un signal, puis de « purifier » ce signal afin de ne garder que la portion fréquencielle qui nous intéresse, puis réinjecter ce signal dans le milieu amplificateur. Le laser reprend ce schéma, avec les correspondances du tableau ci-dessous.\nFig. 1. – Schéma physique du laser. La lumière fait des allers-retours entre deux miroirs ; le milieu à gain l’amplifie à chaque passage, et le miroir 𝑅2 laisse sortir une partie du faisceau.(a) Laser(b) Oscillateur à pont de WienFig. 2. – Le laser et l’oscillateur à pont de Wien dans un même schéma de traitement du signal. Un amplificateur (triangle, entrées + et −) est alimenté en énergie. Le point noir sépare sa sortie en trois branches : la sortie utile, la rétroaction positive à travers un filtre passe-bande, et la rétroaction négative qui limite le gain. Seuls les noms des blocs changent.Oscillateur à pont de WienLaserAmplificateurnon inverseur, gain 𝐴milieu à gain, gain 𝑔Sélection en fréquencefiltre passe-bande 𝐻(𝑗𝜔)cavité résonante, modes longitudinauxCondition d’oscillation𝐴𝐻(𝑗𝜔0)=1 (Barkausen)gain par aller-retour = pertes par aller-retourFréquence𝜔0=1/(𝑅𝐶)𝜈𝑞=𝑞𝑐/(2𝐿)Démarrageà partir du bruit, 𝐴𝐻\u003e1à partir de l’émission spontanée, gain \u003e pertesStabilisationrétroaction négative : 𝐴 diminue quand l’amplitude croîtsaturation : 𝑔 diminue quand l’intensité croîtPhasenulle à 𝜔0multiple de 2𝜋 après un aller-retourTableau 1. – Correspondances entre l’oscillateur à pont de Wien et le laser.Rétroaction positive\nUne partie de la sortie est renvoyée à l’entrée en phase avec le signal qui y entre : elle s’ajoute à lui, et le signal se renforce à chaque tour de boucle. Une rétroaction négative, au contraire, se retranche et stabilise. C’est le rôle de la saturation, sur l’entrée −.Pompage\nLe pompage est l’apport d’énergie qui maintient les atomes dans l’état excité. Il entre dans le milieu à gain, comme l’alimentation d’un ALI : sans lui, l’amplificateur n’a pas d’énergie à donner à la lumière.Remarque. La transposition a une limite. Le réseau de Wien est un filtre électrique, alors que la rétroaction laser est spatiale : l’onde fait des allers-retours entre deux miroirs. L’analogie est utile pour la boucle et la condition d’oscillation, mais pas pour le détail des modes.1.2 Plan de la fiche2 L’émission stimulée (Einstein, 1917)2.1 Absorption, émission spontanée, émission stimulée2.2 Les coefficients d’Einstein2.3 Population des niveaux et gainEn résumé : À rédiger.3 Le maser à ammoniac (1954)3.1 Pourquoi les micro-ondes d’abord3.2 Inversion par tri des molécules3.3 Cavité et condition d’oscillationCondition d’oscillation (à vérifier)\n𝑅1𝑅2𝑒2(𝑔−𝛼)𝐿=1(1)\noù 𝑅1, 𝑅2 sont les réflectivités des miroirs, 𝑔 le gain et 𝛼 les pertes internes.3.4 Régime au-delà du seuil3.5 Ce qui change dans le schémaEn résumé : À rédiger.4 Le pompage : le maser à trois niveaux (1956)4.1 Pourquoi deux niveaux ne suffisent pas4.2 Trois niveaux et pompage4.3 Ce qui change dans le schémaEn résumé : À rédiger.5 Du maser au laser (1958-1961)5.1 Le problème de la cavité optique5.2 Modes longitudinaux d’une cavité de Fabry-Pérot5.3 Le laser à rubis (Maiman, 1960)5.4 Le laser hélium-néon : quatre niveaux5.5 Ce qui change dans le schémaEn résumé : À rédiger.6 Les lasers à semi-conducteur6.1 Pompage par injection de courant6.2 Gain entre bandes6.3 Cavité et hétérostructures6.4 Ce qui change dans le schémaEn résumé : À rédiger.7 Les dispositifs associés au laser7.1 Optique non linéaire et doublage de fréquence7.2 Cristaux laser et pompage par diode7.3 Impulsions : déclenchement et blocage de modes7.4 Modulateurs, isolateurs et autres composants7.5 Ce qui change dans le schémaEn résumé : À rédiger.8 SynthèseÀ retenir :\nÀ rédiger : les trois conditions (inversion, cavité, seuil) et leurs grandeurs caractéristiques.\nMaser NH₃RubisHe-NeDiode laserMilieu amplificateurApport d’énergieDémarrageFiltre (cavité)SaturationSortie\n","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/optique/laser/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003cp\u003eD’après ?\u003c/p\u003e\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#eaf1f8;--filet:#1f4e79\"\u003e\u003cspan class=\"couleur\" style=\"--couleur:#1f4e79\"\u003e\u003cstrong\u003eL\u003c/strong\u003e\u003c/span\u003e’\u003cspan class=\"couleur\" style=\"--couleur:#1f4e79\"\u003e\u003cstrong\u003eessentiel à retenir\u003c/strong\u003e\u003c/span\u003e\u003cbr\u003eÀ rédiger en dernier. Idée directrice : un laser est un amplificateur (milieu à gain) placé dans une boucle de rétroaction positive (cavité). Il oscille dès que le gain par aller-retour compense les pertes.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"1-description-schematique-du-laser\"\u003e\u003cstrong\u003e1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eDescription schématique du laser\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003ch3 id=\"1-1-le-laser-comme-oscillateur\"\u003e\u003cstrong\u003e1.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eLe laser comme oscillateur\u003c/strong\u003e\u003c/h3\u003e\u003cp\u003eL’idée initiale du laser se rapproche assez bien du principe d’un oscillateur à rétroaction, utilisé en électronique pour générer des signaux de fréquence variable et de faible distorsion depuis les années 1930. Le principe est d’avoir un amplificateur capable d’augmenter le gain d’un signal, puis de « purifier » ce signal afin de ne garder que la portion fréquencielle qui nous intéresse, puis réinjecter ce signal dans le milieu amplificateur. Le laser reprend ce schéma, avec les correspondances du tableau ci-dessous.\u003c/p\u003e","title":"Fonctionnement du laser"},{"content":" D’après G. Kirchhoff, « Über den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und Wärme »,\nMonatsberichte der Königlichen Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, décembre 1859, p. 783–787.\n1. Expérience de penséeDeux plaques sont placées face à face, parallèles et illimitées (très grandes devant leur écartement), de sorte que toute la lumière qui quitte l’une arrive forcément sur l’autre. Chaque plaque est doublée, sur sa face extérieure, d’un miroir parfait. Rien ne peut donc s’échapper : le système est isolé, et la lumière ne peut que faire des allers-retours entre les deux plaques.\nFig. 1. – Les deux plaques et leurs miroirs. Les flèches suivent le rayonnement 𝜑1 émis par ① à la longueur d’onde Λ ; à côté de chaque plaque, la part absorbée à chaque passage.2. Notations et hypothèsesLes deux plaques sont au départ à la même température 𝑇.\nPour chaque plaque 𝑖 et chaque longueur d’onde 𝜆, on note 𝐴𝑖(𝜆) la fraction de la lumière reçue qui est absorbée (0≤𝐴𝑖≤1), et 𝑅𝑖(𝜆)=1−𝐴𝑖(𝜆) la fraction renvoyée vers l’autre plaque. Grâce au miroir, une plaque ne transmet rien : ce qui n’est pas absorbé est renvoyé.La plaque ① n’émet et n’absorbe qu’à une seule longueur d’onde Λ : 𝐴1(𝜆)=0 et 𝑅1(𝜆)=1 pour 𝜆≠Λ.La plaque ② émet et absorbe à toutes les longueurs d’onde : 𝐴2(𝜆)\u003e0 pour tout 𝜆.À la longueur d’onde Λ, ① émet la puissance 𝜑1 et ② la puissance 𝜑2. En toute rigueur, ce sont des puissances par unité de surface et par petit intervalle de longueur d’onde autour de Λ.On note enfin 𝑘=𝑅1𝑅2 la fraction de lumière qui fait un aller-retour complet sans être absorbée. Comme les plaques absorbent un peu, 0≤𝑘\u0026lt;1.3. Cas des longueurs d’onde 𝜆≠ΛPour ces longueurs d’onde, ① est transparente : 𝐴1=0, 𝑅1=1. Tout ce que ② émet traverse ①, se réfléchit sur le miroir, revient sur ②, qui en absorbe une partie, et ainsi de suite. Comme 𝐴2\u003e0 et que rien ne s’échappe, ② finit par réabsorber tout ce qu’elle a émis.\nLe bilan de ② est donc automatiquement nul à ces longueurs d’onde : elle émet et ré-absorbe, mais n’échange rien avec ①. Tout se joue à Λ.\n4. Cas de la longueur d’onde Λ4.1. Rayonnement émis par ①Suivons la puissance 𝜑1 émise par ① (figure 1). Elle arrive sur ②, qui en absorbe 𝐴2𝜑1 et renvoie 𝑅2𝜑1. De ce retour, ① absorbe 𝐴1𝑅2𝜑1 et renvoie 𝑅1𝑅2𝜑1=𝑘𝜑1, dont ② absorbe 𝐴2𝑘𝜑1. Et ainsi de suite : à chaque aller-retour, ce qui reste est multiplié par 𝑘. Au total, ② absorbe\n𝐴2𝜑1(1+𝑘+𝑘2+⋯)=∑𝑛=0+∞𝐴2𝑘𝑛𝜑1=𝐴21−𝑘𝜑1(1)\n(somme d’une suite géométrique de raison 𝑘\u0026lt;1).\n4.2. Rayonnement émis par ②La puissance 𝜑2 émise par ② arrive d’abord sur ①, qui en renvoie 𝑅1𝜑2. De ce retour, ② absorbe 𝑅1𝐴2𝜑2, puis 𝑅1𝐴2𝑘𝜑2 au passage suivant, etc. Au total, ② réabsorbe\n𝑅1𝐴21−𝑘𝜑2(2)\n4.3. Bilan d’énergie de ②Chaque seconde, ② perd 𝜑2 et gagne les deux quantités précédentes. En notant 𝐸2 son énergie :\n𝑑𝐸2𝑑𝑡=𝐴21−𝑘𝜑1−𝜑2+𝑅1𝐴21−𝑘𝜑2=𝐴21−𝑘𝜑1−𝜑2(1−(1−𝐴1)𝐴21−𝑘)(3)\n5. Application du second principeLes deux plaques partent à la même température 𝑇. Si 𝑑𝐸2𝑑𝑡 était non nul, ② se réchaufferait (ou se refroidirait) spontanément aux dépens de ① : une différence de température apparaîtrait d’elle-même dans un système isolé initialement à température uniforme. On pourrait alors faire fonctionner une machine thermique entre les deux plaques et produire du travail à partir d’un système en équilibre. Le second principe l’interdit (énoncé de Clausius : la chaleur ne passe pas spontanément d’un corps à un autre corps de même température ou plus chaud). Donc :\n𝑑𝐸2𝑑𝑡=0.(4)\nL’Équation 3 avec 𝑑𝐸2𝑑𝑡=0 donne\n𝐴21−𝑘𝜑1=𝜑2(1−(1−𝐴1)𝐴21−𝑘).(5)\nEn multipliant par 1−𝑘 :\n𝐴2𝜑1=𝜑2(1−𝑘−(1−𝐴1)𝐴2).(6)\nOr 𝑘=𝑅1𝑅2=(1−𝐴1)(1−𝐴2)=1−𝐴1−𝐴2+𝐴1𝐴2, donc\n1−𝑘−(1−𝐴1)𝐴2=𝐴1+𝐴2−𝐴1𝐴2−𝐴2+𝐴1𝐴2=𝐴1.(7)\nIl reste 𝐴2𝜑1=𝐴1𝜑2, c’est-à-dire :\nÀ 𝜆=Λ et pour une température 𝑇,𝜑1𝐴1=𝜑2𝐴26. Conclusion : loi de KirchhoffLa plaque ① sert d’étalon. Remplaçons ② par n’importe quel autre corps à la même température : le même raisonnement donne le même rapport 𝜑1/𝐴1. Tous les corps ont donc, à la longueur d’onde Λ et à la température 𝑇, le même rapport entre puissance émise et fraction absorbée. Comme Λ et 𝑇 sont arbitraires :\nLoi de Kirchhoff (1859). Pour une longueur d’onde et une température données, le rapport du pouvoir émissif au pouvoir absorbant est le même pour tous les corps :\n𝜑𝐴=𝐹(𝜆,𝑇),(8)\noù 𝐹 est une fonction universelle, indépendante de la nature du corps.Un bon absorbeur à une longueur d’onde est donc nécessairement un bon émetteur à cette même longueur d’onde, et réciproquement.\nLe corps noir est le cas particulier d’un corps qui absorbe tous les rayonnements : 𝐴=1 à toutes les longueurs d’onde. Sa puissance émise est alors directement 𝐹(𝜆,𝑇). Kirchhoff l’introduit explicitement dans son mémoire de 1860 ; déterminer la forme de 𝐹 conduira Planck, en 1900, à l’hypothèse des quanta.\n7. Remarque critiqueL’argument repose sur deux idéalisations : un miroir parfait, et surtout un corps ① qui n’agit qu’à une seule longueur d’onde. Kirchhoff lui-même présente cette dernière comme une hypothèse « sans inconvénient », et non comme un fait établi. C’est pour s’en affranchir qu’il donne en 1860 une démonstration plus générale, fondée sur une enceinte fermée et sur le corps parfaitement noir.\n","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/thermodynamique/loi-kirchhoff/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003cp\u003eD’après G. Kirchhoff, « Über den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und Wärme »,\u003cbr\u003e\u003cem\u003eMonatsberichte der Königlichen Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin\u003c/em\u003e, décembre 1859, p. 783–787.\u003c/p\u003e\u003ch2 id=\"1-experience-de-pensee\"\u003e\u003cstrong\u003e1. \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eExpérience de pensée\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003cp\u003eDeux plaques sont placées face à face, parallèles et \u003cem\u003eillimitées\u003c/em\u003e (très grandes devant leur écartement), de sorte que toute la lumière qui quitte l’une arrive forcément sur l’autre. Chaque plaque est doublée, sur sa face extérieure, d’un miroir parfait. Rien ne peut donc s’échapper : le système est isolé, et la lumière ne peut que faire des allers-retours entre les deux plaques.\u003c/p\u003e","title":"Loi de Kirchhoff"},{"content":" d’après ?\nNIntroduction\nLa mécanique du point porte à nous faire penser que les influences des astres les uns sur les autres sont homogènes sur l’ensemble de ceux-ci. Or il n’en est rien : même si les résultats sont vrais en première approximation, ils ne le sont plus dès que l’on cherche à décrire finement l’action d’un astre sur un autre, car l’attraction exercée varie d’un point à l’autre de l’astre qui la subit. Ce sont ces écarts à l’homogénéité, appelés forces de marée, qui sont à l’origine, entre autres, des marées océaniques.\nNous poserons d’abord le problème, puis nous le traiterons de manière naïve en prenant l’astre de référence comme centre d’un référentiel galiléen, ce qui ne fonctionne pas. Nous reprendrons ensuite les calculs en tenant compte du caractère non galiléen de ce référentiel, dû à l’astre lointain, ce qui nous donnera la véritable expression des forces de marée.\nI Présentation du problèmeOn considère un astre massif 𝑇.\nOn considère l’action d’un satellite lointain 𝐿 sur 𝑇. En première approximation, un point 𝑀 demeurant à la surface de 𝑇 subit les forces d’attraction gravitationnelle de 𝑇 et de 𝐿 :\n𝐅=𝐅𝑇+𝐅𝐿avec{𝐅𝐿=𝐺𝑚𝑀𝐿𝑅𝑇𝐿3𝑇𝐿⃗𝐅𝑇=−𝐺𝑚𝑀𝑇𝑅𝑇3𝑇𝑀⃗(1)\nFig. 1. – Le point 𝑀 à la surface de 𝑇 subit l’attraction de 𝑇 et celle de 𝐿 (échelles non respectées).On a ici négligé, du fait que 𝑅𝑇≪𝑅𝑇𝐿, le fait que 𝑀 n’est pas exactement au centre de 𝑇. Notre objectif est donc de déterminer les forces oubliées qui dépendent de la position de 𝑀 sur 𝑇 : les forces de marée.\nII Approche naïveII.A Référentiel supposé galiléenOn associe à 𝑇 le référentiel ℛ︀ supposé galiléen. Appliquons le PFD à 𝑀, en approximant au premier ordre que 𝑅𝑇≪𝑅𝑇𝐿 (et non plus à l’ordre 0) :\n𝑚𝐚=𝐅𝑇+𝐅𝐿=−𝐺𝑚𝑀𝑇𝑅𝑇2(cos𝜃𝐞𝑥+sin𝜃𝐞𝑦)+𝐺𝑚𝑀𝐿𝑅𝑀𝐿2(cos𝜓𝐞𝑥−sin𝜓𝐞𝑦)(2)\nComme tan𝜓≃𝑅𝑇sin𝜃𝑅𝑀𝐿≪1, alors tan𝜓≃sin𝜓≃𝜓 et cos𝜓≃1. Ainsi :\n𝐚=−𝐺𝑀𝑇𝑅𝑇2(cos𝜃sin𝜃)+𝐺𝑀𝐿𝑅𝑀𝐿2(1−𝜓).(3)\nOr\n𝑀𝐿⃗=𝑀𝑇⃗+𝑇𝐿⃗=𝑅𝑇(−cos𝜃𝐞𝑥−sin𝜃𝐞𝑦)+𝑅𝑇𝐿𝐞𝑥,(4)\nd’où\n𝑅𝑀𝐿=(𝑅𝑇𝐿−cos𝜃𝑅𝑇)2+sin2𝜃𝑅𝑇2=𝑅𝑇𝐿2−2cos𝜃𝑅𝑇𝑅𝑇𝐿+cos2𝜃𝑅𝑇2+sin2𝜃𝑅𝑇2=𝑅𝑇𝐿1−2cos𝜃𝑅𝑇𝑅𝑇𝐿+𝑅𝑇2𝑅𝑇𝐿2≃𝑅𝑇𝐿(1−cos𝜃𝑅𝑇𝑅𝑇𝐿)≃𝑅𝑇𝐿−cos𝜃𝑅𝑇(projection selon l'axe des 𝑥).\nOn a négligé au passage le terme en 𝑅𝑇2, d’ordre 2 en 𝑅𝑇/𝑅𝑇𝐿.\n","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/mecanique/forces-maree/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003cp\u003ed’après ?\u003c/p\u003e\u003cp\u003e\u003cspan class=\"couleur\" style=\"--couleur:#1f4e79\"\u003e\u003cstrong\u003eN\u003c/strong\u003e\u003c/span\u003e\u003cspan class=\"couleur\" style=\"--couleur:#1f4e79\"\u003e\u003cstrong\u003eIntroduction\u003c/strong\u003e\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\u003cp\u003eLa mécanique du point porte à nous faire penser que les influences des astres les uns sur les autres sont homogènes sur l’ensemble de ceux-ci. Or il n’en est rien : même si les résultats sont vrais en première approximation, ils ne le sont plus dès que l’on cherche à décrire finement l’action d’un astre sur un autre, car l’attraction exercée varie d’un point à l’autre de l’astre qui la subit. Ce sont ces écarts à l’homogénéité, appelés \u003cem\u003eforces de marée\u003c/em\u003e, qui sont à l’origine, entre autres, des marées océaniques.\u003c/p\u003e","title":"Forces de marée"},{"content":" D’après R. Karam et al, « Forces on a current-carrying wire in a magnetic field:\nthe macro–micro connection », European Journal of Physics 38 (2017).\nL’essentiel à retenir\nÀ rédiger en dernier.1 Présentation classique1.1 Force mésoscopique de LorentzOn rappelle la force de Lorentz subie par une charge ponctuelle 𝑞 de vitesse 𝐯⃗ dans des champs 𝐄⃗ et 𝐁⃗ :\n𝐅⃗𝐿=𝑞(𝐄⃗+𝐯⃗×𝐁⃗).(1)\nSi maintenant on considère un cube mésoscopique de volume 𝑑𝜏, contenant une densité 𝑛 de porteurs de charge 𝑞 animés d’une vitesse moyenne 𝐯⃗, ce cube subit\n𝑑𝐅⃗𝐿=𝑛𝑞(𝐄⃗+𝐯⃗×𝐁⃗)𝑑𝜏,(2)\nque l’on peut réorganiser sous la forme :\n𝑑𝐅⃗𝐿=(𝜌𝐄⃗+𝐣⃗×𝐁⃗)𝑑𝜏,(3)\navec 𝐣⃗=𝑛𝑞𝐯⃗ et 𝜌=𝑛𝑞 respectivement les densités de courant et de charge électrique.\nConclusion\nÀ l’échelle mésoscopique, la force de Lorentz est décrite par une densité volumique de force\n𝐟⃗𝐿=𝑑𝐅⃗𝐿𝑑𝜏=𝜌𝐄⃗+𝐣⃗×𝐁⃗.Remarque. La composante magnétique de la force ne travaille pas : (𝐯⃗×𝐁⃗)⋅𝐯⃗=0.1.2 Rail de LaplaceOn considère maintenant deux rails parallèles et fixes, distant d’une longueur ℓ, sur lesquels on applique deux potentiels différents via une alimentation continue. On applique avec un aimant un champ magnétique uniforme 𝐁⃗=𝐵𝐮⃗𝑧, orthogonal au plan des rails. On oriente les rails selon 𝐮⃗𝑥 et on pose un fil métallique de section constante 𝑆, selon 𝐮⃗𝑦, de façon à ce qu’il touche les deux rails. Le circuit électrique est alors fermé et un courant 𝐼\u003e0 circule dans le fil, dans le sens de 𝐮⃗𝑦.\nLe dispositif est schématisé sur la Fig. 1.\nFig. 1. – Dispositif de Laplace. Le champ 𝐁⃗ est vertical, dirigé de N vers S. Le générateur 𝐺 impose\nun courant 𝐼 qui circule dans le fil du rail + vers le rail −, et la force 𝐅⃗ entraîne le fil le long des rails.Du fait de la force de Lorentz, les porteurs de charge en mouvement sont soumis à la densité volumique de force 𝑑𝐟⃗=𝐣⃗×𝐁⃗𝑑𝜏, où le terme électrique 𝜌𝐄⃗ est nul puisque le fil est supposé globalement neutre (𝜌=0).\nLe courant est uniforme dans la section 𝑆 du fil, 𝐣⃗=(𝐼𝑆)𝐮⃗𝑦. Un élément de longueur 𝑑𝑦 correspond à\n𝑑𝜏=𝑆𝑑𝑦, donc\n𝑑𝐅⃗=𝐣⃗×𝐁⃗𝑆𝑑𝑦=(𝐼𝑆)𝐵𝑆𝑑𝑦(𝐮⃗𝑦×𝐮⃗𝑧)=𝐼𝐵𝑑𝑦𝐮⃗𝑥.(4)\nIntégrée sur le fil, cette densité donne la force subie par le fil :\n𝐅⃗=∫0ℓ𝐼𝐵𝑑𝑦𝐮⃗𝑥=𝐼ℓ𝐵𝐮⃗𝑥=𝐼ℓ⃗×𝐁⃗,avecℓ⃗=ℓ𝐮⃗𝑦.(5)\nForce de Laplace\nUn fil de longueur ℓ, parcouru par un courant 𝐼 et placé dans un champ 𝐁⃗ uniforme, subit\n𝐅⃗=𝐼ℓ⃗×𝐁⃗,‖𝐅⃗‖=𝐼ℓ𝐵.Cette force est orthogonale au fil et au champ, c’est-à-dire le long des rails : le fil se met en mouvement.\nEn résumé : La force de Laplace est la résultante, à l’échelle macroscopique, des forces de Lorentz subies à l’échelle microscopique par les porteurs de charge.Remarque.\nLe raisonnement suppose implicitement que le fil est de résistance approx. nulle, que le courant y est uniforme, que 𝐁⃗ est uniforme sur le fil et que la vitesse moyenne des porteurs est bien définie.Inverser le sens de 𝐼 ou celui de 𝐁⃗ inverse le sens de la force.Les rails fixes eux aussi subissent la force mais leur position est contrainte, donc ils ne bougent pas.1.3 Incohérences de la démonstrationLe résultat 𝐅⃗=𝐼ℓ⃗×𝐁⃗ est juste, mais sa démonstration repose sur des raccourcis incohérents entre eux :\nDeux hypothèses sur la charge. En 1.1, 𝜌=𝑛𝑞≠0 ; en 1.2, 𝜌=0 car le fil est neutre. Il manque donc une seconde population de charges, fixes : le réseau d’ions.Une force sur les porteurs, pas sur le fil. 𝐣⃗×𝐁⃗𝑑𝜏 s’exerce sur les porteurs mobiles, or c’est le fil entier qui avance. Les ions, immobiles, ne subissent aucune force magnétique, et le point d’application n’est jamais discuté. (Les vrais porteurs sont d’ailleurs des électrons, qui dérivent à contre-sens de 𝐣⃗.)« Neutre » ne veut pas dire « sans effet électrique ». 𝜌𝐄⃗=𝟎⃗ n’implique pas que les forces électriques sur le réseau et sur les électrons soient nulles : elles peuvent seulement se compenser. Et rien n’interdit des charges de surface.Aucun mécanisme de transmission. Comment la force sur les électrons passe-t-elle au réseau ? L’image des « chocs » n’est jamais quantifiée, et les électrons n’ont pas de mouvement d’ensemble transverse.Une force magnétique qui travaille. La force magnétique ne travaille pas (remarque de 1.1), pourtant le fil qui avance de 𝑑𝑥 reçoit le travail 𝛿𝑊=𝐼ℓ𝐵𝑑𝑥≠0.Un fil supposé immobile. Dès que le fil avance à la vitesse 𝑉, les porteurs acquièrent 𝑉𝐮⃗𝑥 et la force magnétique a une composante opposée au courant (induction), absente du calcul.En résumé : Le résultat est exact, mais on ne sait ni sur quoi la force s’exerce, ni comment elle est transmise, ni d’où vient l’énergie : c’est l’objet de la partie 2.2 Explication réelle2.1 Qui subit la force de Lorentz ?Un fil métallique n’est pas un milieu à une seule espèce de charge. Dans le modèle classique le plus simple, c’est la superposition de deux populations :\nun réseau d’ions positifs, fixes, de densité de charge 𝜌+=+𝑛𝑒 ;un gaz d’électrons libres, de densité de charge 𝜌−=−𝑛𝑒.Le fil est localement neutre : 𝜌=𝜌++𝜌−=0, soit autant d’électrons libres que d’ions dans ce modèle. La masse des électrons étant d’environ trois ordre de grandeurs plus faible que celle des ions, la quasi intégralité de la masse du fil est en fait celle du réseau d’ions. Le mouvement qui nous intéresse à l’échelle macroscopique est donc celui des ions, non des électrons.\nOn considère d’abord le fil au repos. Quand un courant circule, le réseau reste immobile et les électrons dérivent à la vitesse 𝐯⃗−=−𝑣𝐮⃗𝑦, d’où, pour un fil de section 𝑆=𝜋𝑅2,\n𝐣⃗=𝜌−𝐯⃗−=𝑛𝑒𝑣𝐮⃗𝑦,𝐼=𝑛𝑒𝑣𝑆.(6)\nOn applique la force de Lorentz à chaque population séparément, dans les mêmes champs 𝐄⃗ et 𝐁⃗. Les ions, au repos, ne subissent que la force électrique ; les électrons subissent en plus la force magnétique :\n𝐟⃗+=𝜌+𝐄⃗,𝐟⃗−=𝜌−𝐄⃗+𝜌−𝐯⃗−×𝐁⃗=𝜌−𝐄⃗+𝐣⃗×𝐁⃗.(7)\nLa somme 𝐟⃗++𝐟⃗− redonne bien l’expression de la force de Lorentz mésoscopique (3), mais la décomposition montre lla portion électrique qui existe bel et bien au sein du fil.\nRemarque. Dans l’échantillon de 11 manuels analysé par Karam et al (§2.1), 8 s’en tiennent à la somme des forces de Lorentz sur les porteurs, 1 invoque des collisions entre les électrons et les ions, et 2 seulement attribuent la transmission de la force à l’effet Hall. C’est cette dernière piste que l’on suit ici.2.2 La force électriqueLe terme 𝐣⃗×𝐁⃗ ne s’exerce que sur les électrons : c’est la force de Laplace, mais appliquée aux électrons alors que c’est le réseau qui se déplace (incohérences 2 et 5 de la section 1.3). Comment cette force est-elle transmise au réseau ?\nLa force magnétique pousse les électrons vers le côté +𝐮⃗𝑥 du fil, mais ils ne peuvent pas en sortir. Le nuage d’électrons se décale donc d’une petite distance Δ\u003e0 le long de 𝐮⃗𝑥 par rapport au réseau (Fig. 2). Le fil reste neutre en volume, puisque les deux distributions se recouvrent presque entièrement, mais deux fines couches de charges opposées apparaissent sur ses côtés : c’est l’effet Hall. Ce décalage cesse quand le champ électrique ainsi créé compense la force magnétique sur les électrons : on le détermine en trois étapes, avec le champ dans le fil, les charges de surface et l’équilibre des électrons.Fig. 2. – Section du fil, vue selon 𝐮⃗𝑦. Le nuage d’électrons est décalé de Δ par rapport au réseau d’ions. Les charges de surface sont positives à gauche et négatives à droite, et créent un champ électrique 𝐄⃗ uniforme dans le fil. L’angle 𝜃 est mesuré depuis 𝐮⃗𝑥 dans le plan 𝑥𝑧.Étape 1 — Champ électrique dans le fil\nLe rayon 𝑅 du fil étant supposé très inférieur à sa longueur, on néglige les effets de bord et on traite chaque distribution de charges comme un cylindre de longueur infinie et uniformément chargé. Par symétrie, le champ d’une telle distribution, de densité de charge 𝜌𝑐, est radial. On rappelle le théorème de Gauss en électrostatique :\nThéorème de Gauss pour l’électrostatique\n∯𝑆𝐄⃗⋅𝑑𝐒⃗=𝑄int𝜀0.Le flux du champ électrique à travers une surface fermée 𝑆 est égal à la charge 𝑄int qu’elle contient sur 𝜀0.\nAppliqué à un cylindre de rayon 𝑟\u0026lt;𝑅 et de hauteur ℎ, il donne\n∯𝑆𝐄⃗(𝑟)⋅𝑑𝐒⃗=𝐸(𝑟)⋅2𝜋𝑟ℎ=𝜌𝜋𝑟2ℎ𝜀0⟹𝐄⃗=𝜌2𝜀0𝑟𝐞𝐫⃗,(8)\nLe réseau ionique, d’axe 𝑂𝑦, crée donc 𝐄⃗+=𝑛𝑒2𝜀0𝑟𝐞𝐫⃗ ; le nuage d’électrons, dont l’axe est décalé de Δ𝐮⃗𝑥, crée 𝐄⃗−=−𝑛𝑒2𝜀0(𝑟𝐞𝐫⃗−Δ𝐮⃗𝑥). Leur somme est\n𝐄⃗=𝐄⃗++𝐄⃗−=𝑛𝑒Δ2𝜀0𝐮⃗𝑥.(9)\nLe champ est uniforme dans tout le fil, dirigé selon +𝐮⃗𝑥, des charges positives vers les charges négatives.\nÉtape 2 — Charges de surface\nPour être plus précis sur l’origine du champ 𝐄⃗, observons que cette situation amène à l’apparition de charges surfaciques : à l’angle 𝜃 (mesuré depuis 𝐮⃗𝑥 dans le plan 𝑥𝑧), le bord du cylindre d’électron dépasse celui du des ions de Δcos𝜃, comptée radialement. Il en résulte une densité surfacique de charge\n𝜎(𝜃)=−𝑛𝑒Δcos𝜃,(10)\nnégative du côté +𝐮⃗𝑥 et positive du côté opposé. Ce sont ces charges qui créent le champ de (9). Le fil est bien neutre en volume, 𝜌=0, mais pas à sa surface : c’est ce que ne voyait pas la démonstration classique (incohérence 3 de la section 1.3).\nÉtape 3 — L'équilibre des électrons\nLe champ agit sur les deux populations. Par unité de volume, il exerce sur le réseau 𝜌+𝐄⃗=𝑛𝑒𝐄⃗ et sur les électrons 𝜌−𝐄⃗=−𝑛𝑒𝐄⃗ : deux forces opposées, d’où 𝜌𝐄⃗=𝟎⃗. En régime permanent, les électrons ne dérivent que le long du fil : transversalement, ils sont à l’équilibre. D’après (7), cela s’écrit\n−𝑛𝑒𝐄⃗+𝐣⃗×𝐁⃗=𝟎⃗⇒𝐸=𝑣𝐵.(11)\nLe champ électrique compense exactement la force magnétique sur les électrons. Avec (9), cela fixe le déplacement du nuage :\nΔ=2𝜀0𝑣𝐵𝑛𝑒=2𝜀0𝐵𝐼𝜋𝑛2𝑒2𝑅2.(12)\nOn verra à la section 3 les ordres de grandeur de Δ et des charges de surface.\nEffet Hall dans le fil\nLa force magnétique décale le nuage d’électrons de Δ ; les charges de surface qui en résultent créent un champ électrique uniforme\n𝐄⃗=𝐣⃗×𝐁⃗𝑛𝑒=𝑣𝐵𝐮⃗𝑥,qui compense la force magnétique sur les électrons et qui pousse, en revanche, le réseau d’ions.\n2.3 Passage du mésoscopique au macroscopiqueIl reste à relier les forces à l’échelle des populations (mésoscopique) à la force sur le fil (macroscopique). Pour les électrons, l’équilibre transverse (𝐟⃗−=𝟎⃗ dans (7)) donne 𝜌−𝐄⃗=−𝐣⃗×𝐁⃗. Or 𝜌+=−𝜌−, donc la force électrique sur le réseau vaut\n𝐟⃗+=𝜌+𝐄⃗=−𝜌−𝐄⃗=𝐣⃗×𝐁⃗.(13)\nLe réseau reçoit donc exactement la densité de force 𝐣⃗×𝐁⃗ de la démonstration classique, mais c’est maintenant une force électrique, exercée sur les ions, et non une force magnétique exercée sur les porteurs. En intégrant sur le volume du fil, on retrouve (5) :\n𝐅⃗𝐸𝑖=∭fil𝐟⃗+𝑑𝜏=𝐼ℓ⃗×𝐁⃗.(14)\nEn notant 𝐅⃗𝑀𝑒 la force magnétique sur les électrons, 𝐅⃗𝐸𝑒 et 𝐅⃗𝐸𝑖 les forces électriques sur les électrons et sur les ions, et 𝐑⃗ les autres forces sur le réseau (poids, réactions des rails, frottements), la dynamique des deux populations s’écrit, pour un fil de masse 𝑚 et d’accélération 𝐚⃗ :\n𝑚𝐚⃗=𝐅⃗𝐸𝑖+𝐑⃗(réseau)𝟎⃗=𝐅⃗𝑀𝑒+𝐅⃗𝐸𝑒(électrons)𝟎⃗=𝐅⃗𝐸𝑖+𝐅⃗𝐸𝑒(action-réaction)Les deux dernières équations donnent 𝐅⃗𝐸𝑖=𝐅⃗𝑀𝑒 : les forces électriques internes s’éliminent, et la première devient\n𝑚𝐚⃗=𝐅⃗𝑀𝑒+𝐑⃗=𝐼ℓ⃗×𝐁⃗+𝐑⃗.(15)\nVu de l’extérieur, le fil se comporte comme s’il subissait directement la force magnétique exercée sur les électrons : c’est la force de Laplace. Mais à l’échelle des populations, cette force a été transmise du gaz d’électrons au réseau par le champ électrique de l’effet Hall.\nDu microscopique au macroscopique\nLa force de Laplace 𝐅⃗=𝐼ℓ⃗×𝐁⃗ est la force magnétique subie par les électrons de conduction, transmise intégralement au réseau d’ions, donc au fil, par la force électrique de l’effet Hall. Le réseau ne subit aucune force magnétique, et les forces électriques internes se compensent.Les incohérences de la section 1.3 se lèvent ainsi : (1) les deux populations 𝜌± sont maintenant explicites ; (2) la force s’applique au réseau ; (3) 𝜌𝐄⃗=𝟎⃗ cache deux forces électriques opposées et non nulles ; (4) la transmission se fait par le champ de Hall, et non par des chocs ; (5) et (6) sont levées par le bilan énergétique ci-dessous.\nBilan énergétique. Quand le fil avance à la vitesse 𝑉𝐮⃗𝑥 le long des rails, chaque électron a la vitesse 𝐰⃗=𝑉𝐮⃗𝑥−𝑣𝐮⃗𝑦 et subit la force magnétique\n−𝑒𝐰⃗×𝐁⃗=𝑒𝑣𝐵𝐮⃗𝑥+𝑒𝑉𝐵𝐮⃗𝑦.(16)\nLe premier terme est celui qui est transmis au réseau. Le second, selon 𝐮⃗𝑦, s’oppose à la dérive des électrons : c’est l’induction. La puissance de la force magnétique est nulle, comme il se doit :\n(𝑒𝑣𝐵𝐮⃗𝑥+𝑒𝑉𝐵𝐮⃗𝑦)⋅(𝑉𝐮⃗𝑥−𝑣𝐮⃗𝑦)=𝑒𝑣𝑉𝐵−𝑒𝑉𝑣𝐵=0.(17)\nLa puissance reçue par le réseau est 𝐅⃗𝐸𝑖⋅𝑉𝐮⃗𝑥=𝐼ℓ𝐵𝑉. Elle est prélevée sur le générateur, qui doit compenser la force électromotrice d’induction ℰ︀𝑖=𝐵ℓ𝑉 pour maintenir le courant, et l’on a bien ℰ︀𝑖𝐼=𝐼ℓ𝐵𝑉. La force magnétique n’est qu’un intermédiaire : elle convertit la puissance électrique du générateur en puissance mécanique, sans en fournir elle-même.\nRemarque. Ce modèle est celui d’électrons libres formant un nuage rigide. Il explique l’essentiel, mais pas tout : pour les semi-conducteurs, ou lorsque le coefficient de Hall est positif, le champ de Hall ne suffit pas et d’autres mécanismes interviennent (Karam, Kneubil et Robilotta, §2.2). La loi macroscopique 𝐅⃗=𝐼ℓ⃗×𝐁⃗ reste, elle, valable dans tous les cas.3 Variante quantitative : rail suspendu de Laplace et balance de CottonLa balance de Cotton, mise au point par Aimé Cotton en 1900, mesure un champ magnétique par pesée : son schéma de principe est donné en Fig. 3.\nFig. 3. – Balance de Cotton vue de profil, à l’équilibre. Le fléau de gauche porte deux arcs de cercle centrés sur l’axe 𝑂, reliés par un conducteur horizontal de longueur ℓ placé dans un champ 𝐁⃗ uniforme, perpendiculaire à la figure et entrant ; celui de droite porte un contrepoids 𝐶 et un plateau qui reçoit la masse 𝑚. Les forces de Laplace sur les arcs sont radiales : seule la force 𝐅⃗ sur le conducteur horizontal, à la distance 𝑑 de 𝑂, fait tourner le fléau.4 Approche historique ","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/electromagnetisme/rail-laplace/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003cp\u003e\u003cem\u003eD’après R. \u003cspan style=\"font-variant-caps: small-caps\"\u003eKaram\u003c/span\u003e et al,\u003c/em\u003e « Forces on a current-carrying wire in a magnetic field:\u003cbr\u003ethe macro–micro connection », \u003cem\u003eEuropean Journal of Physics 38 (2017)\u003c/em\u003e.\u003c/p\u003e\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#eaf1f8;--filet:#1f4e79\"\u003e\u003cspan class=\"couleur\" style=\"--couleur:#1f4e79\"\u003e\u003cstrong\u003eL\u003c/strong\u003e\u003c/span\u003e’\u003cspan class=\"couleur\" style=\"--couleur:#1f4e79\"\u003e\u003cstrong\u003eessentiel à retenir\u003c/strong\u003e\u003c/span\u003e\u003cbr\u003eÀ rédiger en dernier.\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"1-presentation-classique\"\u003e\u003cstrong\u003e1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003ePrésentation classique\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003ch3 id=\"1-1-force-mesoscopique-de-lorentz\"\u003e\u003cstrong\u003e1.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eForce mésoscopique de \u003cspan style=\"font-variant-caps: small-caps\"\u003eLorentz\u003c/span\u003e\u003c/strong\u003e\u003c/h3\u003e\u003cp\u003eOn rappelle la force de \u003cspan style=\"font-variant-caps: small-caps\"\u003eLorentz\u003c/span\u003e subie par une charge ponctuelle \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑞\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e de vitesse \u003cmath\u003e\u003cmover accent=\"true\"\u003e\u003cmi\u003e𝐯\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"true\"\u003e⃗\u003c/mo\u003e\u003c/mover\u003e\u003c/math\u003e dans des champs \u003cmath\u003e\u003cmover accent=\"true\"\u003e\u003cmi\u003e𝐄\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"true\"\u003e⃗\u003c/mo\u003e\u003c/mover\u003e\u003c/math\u003e et \u003cmath\u003e\u003cmover accent=\"true\"\u003e\u003cmi\u003e𝐁\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"true\"\u003e⃗\u003c/mo\u003e\u003c/mover\u003e\u003c/math\u003e :\u003c/p\u003e\u003cdiv class=\"eq\"\u003e\u003cmath display=\"block\"\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmover accent=\"true\"\u003e\u003cmi\u003e𝐅\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"true\"\u003e⃗\u003c/mo\u003e\u003c/mover\u003e\u003cmi\u003e𝐿\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝑞\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmover accent=\"true\"\u003e\u003cmi\u003e𝐄\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"true\"\u003e⃗\u003c/mo\u003e\u003c/mover\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmover accent=\"true\"\u003e\u003cmi\u003e𝐯\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"true\"\u003e⃗\u003c/mo\u003e\u003c/mover\u003e\u003cmo lspace=\"0.2222222222222222em\" rspace=\"0.2222222222222222em\"\u003e×\u003c/mo\u003e\u003cmover accent=\"true\"\u003e\u003cmi\u003e𝐁\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"true\"\u003e⃗\u003c/mo\u003e\u003c/mover\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmi\u003e.\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e\u003cp\u003e\u003cspan class=\"eq-num\"\u003e(1)\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\u003c/div\u003e\u003cp\u003eSi maintenant on considère un cube mésoscopique de volume \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑑\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝜏\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, contenant une densité \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑛\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e de porteurs de charge \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑞\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e animés d’une vitesse moyenne \u003cmath\u003e\u003cmover accent=\"true\"\u003e\u003cmi\u003e𝐯\u003c/mi\u003e\u003cmo stretchy=\"true\"\u003e⃗\u003c/mo\u003e\u003c/mover\u003e\u003c/math\u003e, ce cube subit\u003c/p\u003e","title":"Le rail de Laplace"},{"content":" D’après A. Domps, « Remarques sur l’approximation des régimes quasi stationnaires\nen électromagnétisme », Bulletin de l’Union des Physiciens (vol. 97, Fév. 2003).\nL’essentiel à retenir\nL’ARQS consiste à négliger les temps de propagation dans le calcul des potentiels (𝑉, 𝐀); elle est légitime lorsque 𝜀=𝐿/(𝑐𝜏)≪1. Cependant cette seule hypothèse ne permet pas de savoir lequel des deux champs (𝐄, 𝐁) se comporte comme un champ quasi-statique : il faut une seconde hypothèse, portant sur les sources et mesurée par 𝜉=𝑗̃𝜌̃𝑐. Selon que les charges ou les courants dominent, on obtient deux régimes symétriques : l’ARQS électrique (𝐄 n’est créé que par les charges et non par l’induction 𝜕𝐁𝜕𝑡) et l’ARQS magnétique (𝐁 n’est créé que par les courants et non par le courant de dépacement 𝐣𝐝).1 Des équations de Maxwell aux potentiels retardés1.1 Équations de Maxwell et potentielsDans le vide, en présence de sources (𝜌,𝐣), les champs obéissent aux équations de Maxwell :\n∇×𝐄=−𝜕𝐁𝜕𝑡(MF)∇⋅𝐄=𝜌𝜀0(MG)(1)\n∇×𝐁=𝜇0(𝐣+𝜀0𝜕𝐄𝜕𝑡)(MA)∇⋅𝐁=0(MΦ)(2)\navec 𝜀0𝜇0𝑐2=1. On en déduit la conservation de la charge, ∇⋅𝐣+𝜕𝜌/𝜕𝑡=0. Les équations (MΦ) et (MF) permettent d’introduire un potentiel scalaire 𝑉 et un potentiel vecteur 𝐀 tels que\n𝐄=−∇𝑉−𝜕𝐀𝜕𝑡𝐁=∇×𝐀.(3)\nLe terme −𝜕𝐀/𝜕𝑡 est appelé terme de Neumann ; c’est lui qui rend compte des phénomènes d’induction.\n1.2 Choix de jauge et équations de propagationLes potentiels ne sont pas uniques : la transformation 𝐀→𝐀+∇𝜒, 𝑉→𝑉−𝜕𝜒/𝜕𝑡 laisse les champs inchangés quelle que soit la fonction 𝜒. On profite de cette liberté de jauge pour imposer la condition de Lorenz\n∇⋅𝐀+1𝑐2𝜕𝑉𝜕𝑡=0,(4)\nqui a l’avantage de découpler les équations obtenues en reportant (3) dans (MG) et (MA). On obtient deux équations de propagation (de d’Alembert) avec terme source :\nΔ𝑉−1𝑐2𝜕2𝑉𝜕𝑡2=−𝜌𝜀0Δ𝐀−1𝑐2𝜕2𝐀𝜕𝑡2=−𝜇0𝐣.(5)\n1.3 Les potentiels retardésIl reste à résoudre (5) par la méthode de la fonction de Green : on calcule la réponse 𝐺 à une source ponctuelle et instantanée, puis on superpose. La théorie des fonctions de Green, non développée ici, donne\n□𝐺=−𝛿(𝐫)𝛿(𝑡)et𝐺=0pour𝑡\u0026lt;0⇒𝐺(𝑟,𝑡)=𝛿(𝑡−𝑟/𝑐)4𝜋𝑟,une impulsion sphérique émise en 𝑂 à l’instant 0, qui s’éloigne à la vitesse 𝑐. La source 𝜌/𝜀0 étant une somme de sources ponctuelles 𝜌(𝑃,𝑡′)𝑑𝜏𝑑𝑡′/𝜀0 placées en 𝑃∈ℝ3 à l’instant 𝑡′, la linéarité donne\n𝑉(𝑀,𝑡)=1𝜀0∭𝑃∈ℝ3∫𝑡′∈ℝ𝜌(𝑃,𝑡′)𝐺(𝑃𝑀,𝑡−𝑡′)𝑑𝜏𝑑𝑡′,où la distribution de Dirac simplifie l’intégrale temporelle en ne retenant que l’instant d’émission 𝑡′=𝑡−𝑃𝑀/𝑐. Le même raisonnement s’applique à chaque composante de 𝐀, avec 𝜌/𝜀0 remplacé par 𝜇0𝐣. On obtient ainsi :\nPotentiels retardés\n𝑉(𝑀,𝑡)=14𝜋𝜀0∭𝑃∈ℝ3𝜌(𝑃,𝑡−𝑃𝑀/𝑐)𝑃𝑀𝑑𝜏𝐀(𝑀,𝑡)=𝜇04𝜋∭𝑃∈ℝ3𝐣(𝑃,𝑡−𝑃𝑀/𝑐)𝑃𝑀𝑑𝜏(6)\nLe potentiel en 𝑀 à l’instant 𝑡 dépend de l’état des sources en 𝑃 à l’instant antérieur 𝑡−𝑃𝑀/𝑐 : le retard 𝑃𝑀/𝑐 est la durée de propagation de 𝑃 à 𝑀.En résumé : les potentiels en M à l’instant t ne dépendent pas de l’état des sources au même instant, mais de leur état à des instants antérieurs : l’influence des charges et des courants se propage à la vitesse c, si bien que le retard est d’autant plus grand que la source est éloignée. Lorsque ce retard reste petit devant le temps d’évolution des sources, on peut le négliger : c’est l’ARQS.2 L’ARQS pour les potentiels2.1 Principe et critèreL’ARQS consiste à négliger le temps de propagation dans (6), c’est-à-dire à évaluer les sources à l’instant 𝑡 plutôt qu’à l’instant 𝑡−𝑃𝑀/𝑐. Notons 𝜏 le temps typique de variation des sources, et 𝐿 la distance typique entre les sources et la région où l’on calcule les champs. Un développement limité donne\n𝜌(𝑃,𝑡−𝑃𝑀/𝑐)=𝜌(𝑃,𝑡)−𝑃𝑀𝑐𝜕𝜌𝜕𝑡(𝑃,𝑡)+𝑂((𝑃𝑀𝑐)2)Le terme correctif est de l’ordre de (𝐿/𝑐)(𝜌/𝜏), soit une correction relative d’ordre 𝐿/(𝑐𝜏).\nCritère de l’ARQS traditionnel\nL’ARQS est légitime lorsque\n𝜀=𝐿𝑐𝜏≪1,c’est-à-dire lorsque les dimensions du système sont petites devant la longueur d’onde 𝜆=𝑐𝜏.\nSituation𝜏𝐿𝜀ARQSCircuit électrique à 50 Hz20 ms1 m1,7⋅10−7valableRéseau électrique national, 50 Hz20 ms1000 km0,17discutableAntenne Wi-Fi, 2,4 GHz0,4 ns10 cm0,8non valable2.2 Potentiels quasi-stationnairesPotentiels dans l’ARQS\n𝑉(𝑀,𝑡)≃14𝜋𝜀0∭𝑃∈ℝ3𝜌(𝑃,𝑡)𝑃𝑀𝑑𝜏𝐀(𝑀,𝑡)≃𝜇04𝜋∭𝑃∈ℝ3𝐣(𝑃,𝑡)𝑃𝑀𝑑𝜏(7)\nCe sont les formules de la statique, solutions de Δ𝑉+𝜌/𝜀0≃0 et Δ𝐀+𝜇0𝐣≃𝟎.Remarque. Les potentiels (7) vérifient encore exactement la condition de Lorenz (4). En effet, grâce à une intégration par parties puis à la conservation de la charge,\n∇⋅𝐀=𝜇04𝜋∭𝑃∈ℝ3∇𝑃⋅𝐣𝑃𝑀𝑑𝜏=−𝜇04𝜋∭𝑃∈ℝ31𝑃𝑀𝜕𝜌𝜕𝑡𝑑𝜏=−1𝑐2𝜕𝑉𝜕𝑡.En particulier, ∇⋅𝐀 n’est pas nul en général, contrairement à ce qui se passe en magnétostatique. Ce détail sera décisif dans la partie suivante.\n3 Et les champs ? Le piège de la présentation traditionnelleLes grandeurs mesurables sont les champs, et non les potentiels. Il reste donc à savoir ce que l’ARQS implique réellement pour les champs 𝐄 et 𝐁.\n3.1 La conclusion traditionnelleOn trouve habituellement deux raisonnements, qui conduisent à la même conclusion.\nPar les potentiels. D’après (7), 𝐀 s’obtient à chaque instant comme en magnétostatique : Δ𝐀+𝜇0𝐣≃𝟎. En magnétostatique, on en déduit ∇×𝐁=∇(∇⋅𝐀)−Δ𝐀=𝜇0𝐣, puisque ∇⋅𝐀=0 en jauge de Coulomb. On conclut que 𝐁 est à chaque instant magnétostatique.Par les ordres de grandeur. Notons 𝐸̃, 𝐵̃ les ordres de grandeur des champs et 𝑑≲𝐿 leur échelle de variation spatiale. En estimant ‖∇×𝐄‖∼𝐸̃/𝑑, l’équation (MF) donne 𝐸̃∼𝐵̃𝑑/𝜏. Le rapport du courant de déplacement à ∇×𝐁 vaut alors (𝑑/𝑐𝜏)2≲𝜀2≪1.La conclusion est que le courant de déplacement est toujours négligeable : 𝐁 est quasi-magnétostatique, les courants sont à flux conservatif (∇⋅𝐣≃0), tandis que 𝐄 conserve une partie non conservative, le terme de Neumann. C’est le cadre de l’induction.\n3.2 Un exemple et un contre-exemple : le solénoïde et le condensateurFig. 1. – Solénoïde et condensateur en régime variable. L’étude des deux mène à dissocier deux types d’ARQS.Examinons deux dispositifs de rayon 𝑅 en régime sinusoïdal de pulsation 𝜔 (figure ci-dessus), avec 𝜀∼𝑅𝜔/𝑐≪1. Les champs exacts font intervenir des fonctions de Bessel de 𝑥=𝑟𝜔/𝑐, que l’on limite au premier ordre puisque 𝑥≪1. Les deux dispositifs sont donc dans l’ARQS ; voyons s’ils se comportent comme annoncé.\nLe solénoïde. Pour un solénoïde long parcouru par un courant sinusoïdal, on obtient au premier ordre\n𝐁¯≃𝐵0𝐮𝑧𝐄¯≃−𝑖𝜔𝑟2𝐵0𝐮𝜃.(8)\nLe champ magnétique est le champ magnétostatique uniforme usuel, créé par les courants du bobinage ; le courant de déplacement est négligeable ici (ordre 2).\nLe champ électrique est induit, ce que l’on retrouve en appliquant la loi de Faraday à un cercle de rayon 𝑟 :\n𝐸¯⋅2𝜋𝑟=−𝑖𝜔𝐵0𝜋𝑟2⇒𝐸¯=−𝑖𝜔𝑟2𝐵0.Tout est conforme à la conclusion traditionnelle : 𝐁 est magnétostatique, 𝐣𝐝 est négligeable, et 𝐄 est non conservatif, entièrement dû à 𝜕𝐁/𝜕𝑡.\nOn note de plus que 𝑐𝐵/𝐸∼2/𝑥≫1 : le champ magnétique domine. Le solénoïde ne pose donc aucune difficulté à la présentation traditionnelle.\nLe condensateur. Pour un condensateur plan à armatures circulaires, on obtient au premier ordre\n𝐄¯≃𝐸0𝐮𝑧𝐁¯≃𝑖𝜔𝑟2𝑐2𝐸0𝐮𝜃.(9)\nLe champ électrique est le champ électrostatique uniforme usuel. Le champ magnétique, lui, n’est pas magnétostatique.\nEntre les armatures, aucun courant ne circule (𝐣=𝟎) : si l’on avait ∇×𝐁≃𝜇0𝐣, la circulation de 𝐁 sur tout cercle d’axe 𝑂𝑧 serait nulle, et l’on aurait 𝐵𝜃=0. Le champ 𝐁 est en réalité entièrement dû à 𝐣𝐝, comme le montre le théorème d’Ampère généralisé, appliqué à un cercle de rayon 𝑟 :\n𝐵¯⋅2𝜋𝑟=𝜇0𝜀0(𝑖𝜔𝐸0)𝜋𝑟2⇒𝐵¯=𝑖𝜔𝑟2𝑐2𝐸0.Les rôles sont inversés par rapport au solénoïde : 𝐄 est statique et domine (𝑐𝐵/𝐸∼𝑥/2≪1), tandis que 𝐁 est créé par 𝜕𝐄/𝜕𝑡.\nOn est pourtant bien dans l’ARQS : c’est donc la conclusion traditionnelle qui est en défaut.\n3.3 Où se trouvent les erreurs ?Dans le raisonnement par les potentiels. On a bien Δ𝐀+𝜇0𝐣≃𝟎, mais\n∇×𝐁=∇(∇⋅𝐀)−Δ𝐀≃∇(∇⋅𝐀)+𝜇0𝐣.En magnétostatique, ∇⋅𝐀=0 ; ici, d’après la remarque de la partie 2, ∇⋅𝐀=−1𝑐2𝜕𝑉/𝜕𝑡. Il vient donc\n∇×𝐁≃−1𝑐2∇𝜕𝑉𝜕𝑡+𝜇0𝐣.(10)\nLorsque 𝐄≃−∇𝑉, le premier terme n’est autre que 𝜇0𝜀0𝜕𝐄/𝜕𝑡 : on retrouve l’équation de Maxwell-Ampère complète. On ne peut négliger le courant de déplacement sans connaître l’ordre de grandeur de 𝐄.\nDans le raisonnement par les ordres de grandeur. L’estimation ‖∇×𝐄‖∼𝐸̃/𝑑 est fausse en général : un rotationnel est une différence de dérivées, comme 𝜕𝑥𝐸𝑦−𝜕𝑦𝐸𝑥, qui peut être bien plus petite que chacune d’elles, voire nulle, comme pour un champ électrostatique. On peut seulement affirmer 𝐵̃/𝜏≲𝐸̃/𝑑, ce qui ne permet plus de conclure.\nRègle pour les ordres de grandeur\nUne dérivée spatiale d’un champ peut toujours être majorée par 𝐸̃/𝑑. En revanche, on ne peut pas affirmer qu’un rotationnel ou une divergence vaut 𝐸̃/𝑑 : des compensations sont possibles.4 Un second paramètre : 𝜉La condition 𝜀≪1 permet de négliger les temps de propagation, mais elle ne dit pas si le régime est plutôt électrique ou magnétique. Il faut pour cela comparer l’importance des charges et des courants.\nOn introduit\n𝜉=𝑗̃𝜌̃𝑐,(11)\noù 𝜌̃ et 𝑗̃ désignent les ordres de grandeur des parties variables des sources. Ainsi, 𝜉≪1 correspond à des sources dominées par les charges, tandis que 𝜉≫1 correspond à des sources dominées par les courants.\nLes potentiels quasi-stationnaires (7) donnent, en ordre de grandeur,\n𝐴̃∼𝜇04𝜋𝑗̃𝒱︀𝐿et𝑉̃∼14𝜋𝜀0𝜌̃𝒱︀𝐿⟹𝑐𝐴̃𝑉̃∼𝑗̃𝜌̃𝑐=𝜉.(12)\nAinsi, 𝜉 mesure également l’importance relative du potentiel vecteur et du potentiel scalaire.\nRemarque. Pour une seule population de porteurs de vitesse 𝑣, 𝑗=𝜌𝑣, donc 𝜉=𝑣𝑐≪1. Le régime 𝜉≫1 suppose au contraire une quasi-neutralité : des charges opposées se compensent alors qu’un courant subsiste, comme dans un métal.4.1 Contrainte de conservation de la chargeLes sources vérifient ∇⋅𝐣=−𝜕𝜌/𝜕𝑡. Comme la partie variable de 𝜌 évolue sur le temps 𝜏,\n𝜌̃𝜏∼|𝜕𝜌/𝜕𝑡|=|∇⋅𝐣|≲𝑗̃𝐿⇒𝜉≳𝜀.L’inégalité vient de ce qu’une divergence peut être bien plus petite que 𝑗̃𝐿 : les dérivées qui la composent peuvent se compenser. Ainsi, la conservation de la charge ne fixe pas 𝜉, mais impose seulement une borne inférieure.\nOn peut aussi écrire\n𝜉𝜀=𝑗̃𝜏𝜌̃𝐿.Ce rapport mesure donc, en ordre de grandeur, combien le courant total est grand devant la seule composante nécessaire pour faire varier la densité de charge sur le temps 𝜏.\nContrainte de conservation de la charge\n𝜉≳𝜀Pour 𝜉∼𝜀, le courant alimente directement des accumulations de charge, comme dans un condensateur. Pour 𝜉≫𝜀, il peut être presque à divergence nulle ; c’est la situation de l’ARQS magnétique.\n5 L’ARQS électrique : 𝜉≪1Étape 1 — Le champ électrique. On compare les deux termes de (3) :\n‖𝜕𝐀𝜕𝑡‖‖∇𝑉‖∼𝐴̃/𝜏𝑉̃/𝑑=𝑐𝐴̃𝑉̃⋅𝑑𝑐𝜏≲𝜉𝜀≪1.Le terme de Neumann est négligeable : 𝐄≃−∇𝑉, ce qui revient à ∇×𝐄≃𝟎. On néglige donc le terme de Faraday 𝜕𝐁/𝜕𝑡. C’est une approximation d’ordre 2, puisque c’est le produit 𝜉𝜀 qui intervient.\nÉtape 2 — Comparaison des champs. Avec 𝐁=∇×𝐀 et 𝐄≃−∇𝑉 :\n𝑐𝐵̃𝐸̃≲𝑐𝐴̃/𝑑𝑉̃/𝑑=𝜉≪1.L’interaction électrique domine l’interaction magnétique.\nARQS électrique, ou « limite des condensateurs »\n∇×𝐄≃𝟎∇⋅𝐄=𝜌𝜀0∇×𝐁=𝜇0(𝐣+𝜀0𝜕𝐄𝜕𝑡)∇⋅𝐁=0(13)\n𝐄 se calcule comme en électrostatique et domine (𝐸≫𝑐𝐵). Le champ 𝐁 dépend des variations temporelles de 𝐄. C’est ce qui justifie le calcul électrostatique de la capacité d’un condensateur en régime alternatif.6 L’ARQS magnétique : 𝜉≫1Étape 1 — Le champ magnétique. On compare les deux termes du membre de droite de (10), en utilisant (12) :\n‖1𝑐2∇𝜕𝑉𝜕𝑡‖‖𝜇0𝐣‖∼𝜀0𝑉̃𝑗̃𝑑𝜏=𝜀𝜉⋅𝒱︀4𝜋𝐿2𝑑⏟≲1≲𝜀𝜉≪1.Le dernier facteur ne dépend que de la géométrie et reste usuellement inférieur à 1. On obtient ∇×𝐁≃𝜇0𝐣 : le courant de déplacement est négligeable et 𝐁 est à chaque instant magnétostatique.\nÉtape 2 — Comparaison des champs. On majore 𝐸 par ‖∇𝑉‖+‖𝜕𝐀/𝜕𝑡‖. De ∇×𝐁≃𝜇0𝐣, on tire 𝜇0𝑗̃≲𝐵̃/𝑑, soit une minoration 𝐵̃≳𝜇0𝑑𝑗̃, conformément à la règle de la partie 3. Il vient\n𝐸̃𝑐𝐵̃≲𝑉̃/𝑑+𝐴̃/𝜏𝑐𝜇0𝑑𝑗̃=1𝜉⋅𝒱︀4𝜋𝑑2𝐿⏟≲1+𝜀⋅𝒱︀4𝜋𝑑𝐿2⏟≲1≲1𝜉+𝜀≪1.L’interaction magnétique domine l’interaction électrique.\nARQS magnétique, ou « limite des bobines »\n∇×𝐄=−𝜕𝐁𝜕𝑡∇⋅𝐄=𝜌𝜀0∇×𝐁≃𝜇0𝐣∇⋅𝐁=0(14)\n𝐁 se calcule comme en magnétostatique et domine (𝑐𝐵≫𝐸) ; les courants sont à flux conservatif. Le champ 𝐄 dépend des variations temporelles de 𝐁 : c’est le cadre de l’induction, qui justifie le calcul magnétostatique de l’inductance d’une bobine en régime alternatif.La condition de jauge. Un terme de ∇⋅𝐀, d’ordre 𝐴̃/𝐿, et le terme 1𝑐2𝜕𝑉/𝜕𝑡, d’ordre 𝑉̃/(𝑐2𝜏), sont dans le rapport (𝑐𝐴̃/𝑉̃)(𝑐𝜏/𝐿)∼𝜉/𝜀. Dans l’ARQS magnétique, ce rapport est très grand : la condition de Lorenz se réduit à la jauge de Coulomb, ∇⋅𝐀≃0, ce qui justifie a posteriori le raisonnement par les potentiels de la partie 3. Dans l’ARQS électrique, où 𝜉 peut être de l’ordre de 𝜀, les deux termes sont comparables et la jauge de Lorenz doit être conservée.\n7 Le point de vue des changements de référentielLes lois « galiléennes » souvent utilisées, 𝐄′=𝐄+𝐮×𝐁 et 𝐁′=𝐁, sont incohérentes : un faisceau homocinétique de charges ne crée aucun champ magnétique dans son référentiel propre, mais en crée un dans le laboratoire. La limite 𝑢≪𝑐 des transformations de Lorentz ne règle pas le problème, car les lois obtenues ne forment pas un groupe. Le Bellac et Lévy-Leblond ont montré qu’il existe en fait deux limites galiléennes cohérentes, selon la valeur de 𝜁=𝑐𝐵/𝐸, qui joue le rôle de 𝜉 :\nélectrique(𝜁≪1):{𝐄′=𝐄𝐁′=𝐁−𝐮×𝐄/𝑐2magnétique(𝜁≫1):{𝐄′=𝐄+𝐮×𝐁𝐁′=𝐁Chaque ARQS est exactement covariante par la transformation de Galilée qui lui correspond ; la jauge de Coulomb et ∇⋅𝐣=0 ne le sont que dans la limite magnétique. L’électromagnétisme quasi-stationnaire est donc compatible avec la physique galiléenne, à condition de choisir la bonne limite. L’induction dans un circuit mobile relève de la limite magnétique, ce qui justifie l’usage de 𝐄′=𝐄+𝐮×𝐁 dans le référentiel du conducteur.\n8 SynthèseÀ retenir :\n𝜀=𝐿𝑐𝜏\nDétermine si l’on est en ARQS : 𝜀≪1.\n𝜉=𝑗̃𝜌̃𝑐\nDétermine le type d’ARQS : magnétique si 𝜉≫1.\nFig. 2. – Carte des régimes. 𝜀≪1 ne suffit pas : 𝜉 décide lequel des deux champs est statique.ARQS électriqueARQS magnétiqueHypothèses𝜀≲𝜉≪1𝜀≪1 et 𝜉≫1Sources dominantescharges : 𝜌̃𝑐≫𝑗̃courants : 𝑗̃≫𝜌̃𝑐Terme négligéFaraday : 𝜕𝑩𝜕𝑡déplacement : 𝜀0𝜕𝑬𝜕𝑡Équation simplifiée∇×𝑬≈0∇×𝑩≈𝜇0𝒋Champ dominant𝐸≫𝑐𝐵𝑐𝐵≫𝐸Exemple typecondensateurbobine\n","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/electromagnetisme/arqs/","summary":"\u003cdiv class=\"fiche\"\u003e\n\u003cp\u003e\u003cem\u003eD’après A. Domps,\u003c/em\u003e « Remarques sur l’approximation des régimes quasi stationnaires\u003cbr\u003een électromagnétisme », \u003cem\u003eBulletin de l’Union des Physiciens (vol. 97, Fév. 2003)\u003c/em\u003e.\u003c/p\u003e\u003caside class=\"encadre\" style=\"--fond:#eaf1f8;--filet:#1f4e79\"\u003e\u003cspan class=\"couleur\" style=\"--couleur:#1f4e79\"\u003e\u003cstrong\u003eL\u003c/strong\u003e\u003c/span\u003e’\u003cspan class=\"couleur\" style=\"--couleur:#1f4e79\"\u003e\u003cstrong\u003eessentiel à retenir\u003c/strong\u003e\u003c/span\u003e\u003cbr\u003eL’ARQS consiste à négliger les temps de propagation dans le calcul des \u003cem\u003epotentiels\u003c/em\u003e (\u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝑉\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝐀\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e); elle est légitime lorsque \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜀\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝐿\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e/\u003c/mi\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003e𝑐\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝜏\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e≪\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003c/math\u003e. Cependant cette seule hypothèse ne permet pas de savoir lequel des deux \u003cem\u003echamps\u003c/em\u003e (\u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝐄\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e, \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝐁\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e) se comporte comme un champ quasi-statique : il faut une seconde hypothèse, portant sur les sources et mesurée par \u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝜉\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmover accent=\"true\"\u003e\u003cmi\u003e𝑗\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003ẽ\u003c/mo\u003e\u003c/mover\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmover accent=\"true\"\u003e\u003cmi\u003e𝜌\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003ẽ\u003c/mo\u003e\u003c/mover\u003e\u003cmi\u003e𝑐\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/math\u003e. Selon que les charges ou les courants dominent, on obtient deux régimes symétriques : l’\u003cstrong\u003eARQS électrique\u003c/strong\u003e (\u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝐄\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e n’est créé que par les charges et non par l’induction \u003cmath\u003e\u003cmfrac\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003e𝜕\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝐁\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003e𝜕\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝑡\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/mfrac\u003e\u003c/math\u003e) et l’\u003cstrong\u003eARQS magnétique\u003c/strong\u003e (\u003cmath\u003e\u003cmi\u003e𝐁\u003c/mi\u003e\u003c/math\u003e n’est créé que par les courants et non par le courant de dépacement \u003cmath\u003e\u003cmsub\u003e\u003cmi\u003e𝐣\u003c/mi\u003e\u003cmi\u003e𝐝\u003c/mi\u003e\u003c/msub\u003e\u003c/math\u003e).\u003c/aside\u003e\u003ch2 id=\"1-des-equations-de-maxwell-aux-potentiels-retardes\"\u003e\u003cstrong\u003e1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eDes équations de Maxwell aux potentiels retardés\u003c/strong\u003e\u003c/h2\u003e\u003ch3 id=\"1-1-equations-de-maxwell-et-potentiels\"\u003e\u003cstrong\u003e1.1 \u003c/strong\u003e\u003cstrong\u003eÉquations de Maxwell et potentiels\u003c/strong\u003e\u003c/h3\u003e\u003cp\u003eDans le vide, en présence de sources \u003cmath\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmo\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003e𝜌\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e,\u003c/mo\u003e\u003cmi\u003e𝐣\u003c/mi\u003e\u003c/mrow\u003e\u003cmo\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e, les champs obéissent aux équations de Maxwell :\u003c/p\u003e","title":"L’approximation des régimes quasi-stationnaires"},{"content":"","permalink":"https://fiches.alocoq.fr/sommaire/","summary":"","title":"Sommaire"}]